Что такое производная

Правила вычисления производных

7 апреля 2011

• Материалы к уроку
• Скачать все правила

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx:

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f(x) = x2 + (2x + 3) · ex · sin x. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

(C · f)’ = C · f ’.

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2×3)’ = 2 · (x3)’ = 2 · 3×2 = 6×2.

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x2 + sin x; g(x) = x4 + 2×2 − 3.

Функция f(x) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’(x) = (x2 + sin x)’ = (x2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

Ответ:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x2 + 1).

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike”>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x3 · cos x; g(x) = (x2 + 7x − 7) · ex.

Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x3 · cos x)’ = (x3)’ · cos x + x3 · (cos x)’ = 3×2 · cos x + x3 · (− sin x) = x2 · (3cos x − x · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x2 + 7x − 7) · ex)’ = (x2 + 7x − 7)’ · ex + (x2 + 7x − 7) · (ex)’ = (2x + 7) · ex + (x2 + 7x − 7) · ex = ex · (2x + 7 + x2 + 7x −7) = (x2 + 9x) · ex = x(x + 9) · ex.

Ответ:
f ’(x) = x2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · ex.

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Производная частного

Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g2? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций:

В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Ответ:

Производная сложной функции

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f(x) = sin x и заменить переменную x, скажем, на x2 + ln x. Получится f(x) = sin (x2 + ln x) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’(x) = f ’(t) · t ’, если x заменяется на t(x).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Задача. Найти производные функций: f(x) = e2x + 3; g(x) = sin (x2 + ln x)

Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = ex. Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t) = et. Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (et)’ · t ’ = et · t ’

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ’(x) = et · t ’ = e2x + 3 · (2x + 3)’ = e2x + 3 · 2 = 2 · e2x + 3

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x2 + ln x = t. Имеем:

g ’(x) = g ’(t) · t ’ = (sin t)’ · t ’ = cos t · t ’

Обратная замена: t = x2 + ln x. Тогда:

g ’(x) = cos (x2 + ln x) · (x2 + ln x)’ = cos (x2 + ln x) · (2x + 1/x).

Ответ:
f ’(x) = 2 · e2x + 3;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos (x2 + ln x).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

(xn)’ = n · xn − 1

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Задача. Найти производную функции:

Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

f(x) = (x2 + 8x − 7)0,5.

Теперь делаем замену: пусть x2 + 8x − 7 = t. Находим производную по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t0,5)’ · t ’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Делаем обратную замену: t = x2 + 8x − 7. Имеем:

f ’(x) = 0,5 · (x2 + 8x − 7)−0,5 · (x2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x2 + 8x − 7)−0,5.

Наконец, возвращаемся к корням:

Ответ:

Источник: https://www.berdov.com/docs/fluxion/rules/

§1. Определение производной

Производная функции однойпеременной.

Введение.

Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультетапромышленное и гражданское строительство.Они составлены применительно к программекурса математики по разделу«Дифференциальное исчисление функцийодного переменного».

Разработки представляют собой единоеметодическое руководство, включающеев себя: краткие теоретические сведения;«типовые» задачи и упражнения с подробнымирешениями и пояснениями к этим решениям;варианты контрольной работы.

В конце каждого параграфадополнительные упражнения. Такаяструктура разработок делает их пригоднымидля самостоятельного овладения разделомпри самой минимальной помощи со стороныпреподавателя.

Механический и геометрическийсмысл

производной.

Понятие производной является однимиз самых важных понятий математическогоанализа.Оно возникло еще в 17 веке.Формирование понятияпроизводной исторически связано с двумязадачами: задачей о скорости переменногодвижения и задачей о касательной ккривой.

Эти задачи, несмотря наих различное содержание, приводят кодной и той же математической операции,которую нужно провести над функцией.Эта операция получила вматематике специальное название. Онаназывается операцией дифференцированияфункции. Результат операции дифференцированияназывается производной.

Итак, производной функцииy=f(x)в точкеx0 называетсяпредел (если он существует) отношенияприращения функциик приращению аргументапри.

Производную принято обозначатьтак: .

Таким образом, по определению

.

Для обозначения производной употребляютсятакже символы .

Механический смысл производной.

Если s=s(t)– закон прямолинейного движенияматериальной точки, тоесть скорость этой точки в момент времениt.

Геометрический смысл производной.

Если функция y=f(x)имеет производную в точке,то угловой коэффициент касательной кграфику функции в точкеравен.

Пример.

Найдите производную функции в точке=2:

1) Дадим точке =2приращение.Заметим, что.

2) Найдем приращение функции в точке =2:

3) Составим отношение приращения функциик приращению аргумента:

.

Найдем предел отношения при :

.

Таким образом, .

§ 2. Производные от некоторых

простейших функций.

Студенту необходимо научиться вычислятьпроизводные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.

Найдем производную функции у=х.

Имеем:

т.е.(x)′=1.

Найдем производную функции

Производная

Пусть тогда

Легко заметить закономерность ввыражениях производных от степеннойфункции приn=1,2,3.

Следовательно,

. (1)

Эта формула справедлива для любыхдействительных n.

В частности, используя формулу (1), имеем:

;

.

Пример.

Найдите производную функции

.

Решение:

.

Данная функция является частным случаемфункции вида

при .

Используя формулу (1), имеем

.

Производные функций y=sin x и y=cosx.

Пусть y=sinx.

Разделим на ∆x, получим

Переходя к пределу при∆x→0, имеем

Пусть y=cosx .

Тогда

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0,получим

;. (2)

§3. Основные правила дифференцирования

Рассмотрим правила дифференцирования.

Теорема1. Еслифункцииu=u(x)иv=v(x)дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и ихсумма, причем производная суммы равнасумме производных слагаемых: (u+v)'=u'+v'.(3)

Доказательство: рассмотрим функциюy=f(x)=u(x)+v(x).

Приращению ∆x аргумента xсоответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x),∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функцияy получит приращение

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=[u(x+∆x)+v(x+∆x)]–[u(x)+v(x)]=∆u+∆v.

Следовательно,

Итак, (u+v)'=u'+v'.

Теорема2.Еслифункцииu=u(x)иv=v(x)дифференцируемы в данной точкеx,то в той же точке дифференцируемо и ихпроизведение.При этомпроизводная произведения находится последующей формуле: (uv)'=u'v+uv'. (4)

Доказательство: Пусть y=uv, где u и v –некоторые дифференцируемые функции отx. Дадим x приращение ∆x;тогда u получитприращение ∆u, v получит приращение ∆vи y получит приращение ∆y.

Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отсюда

Переходя к пределу при ∆x→0и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будемиметь

Теорема 3.Производная частного двух функций равнадроби, знаменатель которой равен квадратуделителя, а числитель- разности междупроизведением производной делимого наделитель и произведением делимого напроизводную делителя, т.е.

Если то(5)

Теорема 4.Производная постояннойравна нулю, т.е. если y=C, где С=const, тоy'=0.

Теорема 5.Постоянный множительможно выносить за знак производной,т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y'=Cu'(x).

Пример 1.

Найдите производную функции

.

Решение.

Данная функция имеет вид ,гдеu=x,v=cosx. Применяя правилодифференцирования (4), находим

.

Пример 2.

Найдите производную функции

.

Решение.

Применим формулу (5).

Здесь ;.

.

Задачи.

Найдите производные следующих функций:

;

11)

2); 12);

3)13)

4)14)

5)15)

6)16)

7)17)

8)18)

9)19)

10)20)

Источник: https://studfile.net/preview/1937496/

Что такое производная?

Где применяется

Немного о твоей будущей зарплате

Попробую объяснить несколько иначе, чем в школе.

Вы заканчиваете школу, поступаете в университет и начинаете подрабатывать:

В первый год после школы вы зарабатываете 0,5 у.е. (условных единиц). 

Вы хорошо учитесь, устраиваетесь по специальности или находите свое призвание, и ваши дела постепенно, но идут в гору!

Какой молодец! Заработок растет не по годам, а по часам! 

Если посмотреть на этот график внимательнее, то можно увидеть сходство с ветвью параболлы, которая в самом простом случае задается уравнением y = x². Если это понятно, то дальше все проще!

Интересно, а на сколько увеличивался заработок из года в год:

I год: 0,5 − 0 = 0,5 .

II год: 2 − 0,5 = 1,5.

III год: 4,5 − 2 = 2,5.

IV год: 8 − 4,5 = 3,5.

…

Получается, что наш доход каждый год возрастал равномерно. Вот что выйдет, если построить график:

Получается прямая!

То есть все наши старания каждый год были постоянными, достаточно было ежегодно улучшать свой доход на 1 у.е.

Нетрудно заметить, что график заработка задается уравнением y = 0,5x².

А график увеличения заработка залается прямой y = x − 0,5.

Кто знает толк в производных, скажет «Неверно!». Конечно, производная от 0,5x² не будет равна x − 0,5, и это мы обсудим ближе к концу статьи.

Изменение заработка для нескольких лет

Для того, чтобы посчитать скорость изменения заработка, нужно взять один из «треугольников» с графика, например первый, и разделить длину вертикального катета (Δy) (в данном случае это 12,5 − 8 = 4,5) на длину горизонтального (Δx) (тут он равен 1).

Получится 4,5 / 1 = 4,5.

Таким образом, разделив вертикальный катет на горизонтальный, мы получаем скорость изменения функции, что показывает второй график.

Но как же это все относится к производным?

А так, что производная показывает «скорость» изменения функции! 

Функция заработка предсталяет из себя график параболы (график функции) .

В тоже время функция увеличения заработка каждый год представляет прямую (график производной функции).

Вертикальный катет: 24,5 − 18 = 6,5.

Горизонтальный катет: 1.

Разделим: 6,5 / 1 = 6,5 — не сходится с первым треугольником!

А если объединить второй и третий треугольник?

Вертикальный катет: 40,5 − 18 = 22,5.

Горизонтальный катет: 9 − 6 = 3.

Разделим: 22,5 / 3 = 7,5 — опять не сходится!

Какая же тогда производная правильная?

Для того, чтобы верно найти производную, нужно взять как можно меньший горизонтальный катет – максимальное приближение (Δх)!

Сам график задается уравнением y = 0,5x².

Тогда возьмем x₁ = 4 => y₁ = 0,5 × 4² = 8, а при x₂ = 4,001 => y₂ = 0,5 × 4,001² ≈ 8,004.

Получается: Δy = 8,004 − 8 = 0,004,  Δх= 4,001 − 4 = 0,001.

Производная: Δy / Δх = 0,004 / 0,001 = 4.

И что же тогда производная?

Производная — это скорость изменения функции при самых маленьких значениях Δх (наименьших значениях горизонтального катета).

Именно поэтому производную и называют тангенсом (отношение противолежащего катета к прилежащему) угла наклона этой функции.

Если же мы посчитаем производную для каждой точки, получится такой график функции:

А это уже похоже на правду!

Производная от y = 0,5x² будет равна y = х (именно такой график получился у нас).

Погрешность в данном графике вызвана плохим приближением по оси х (в данном случае Δх = 1), из-за чего появляется неточность.

Конечно, можно не делать такое большое количество действий, проверяя точки.

Есть готовые формулы для базовых функций, пользуйтесь ими, если хотите облегчить себе жизнь.

Выводы:

1. Производные встречаются почти во всех областях: от медицины до финансов, по сути дела производная, показывая скорость изменения функции, предсказывает дальнейшее поведение функции.
2. Представьте матрешку, так же как в каждой матрешке внутри есть следующая, так и функция скрывает в себе производную. У каждой функции есть своя производная функции. Так же можно брать от производной функции еще одну производную и повторять действие до бесконечности. 
3. Производная функции показывает скорость изменения самой функции. Так же, как у вас есть родители и предки (предыдущии поколения), которые вам передали какие-то отличительные особенности, так и у функции есть производная, которая передает ей скорость ее изменения.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

Источник: https://ik-study.ru/ege_math/chto_takoe_proizvodnaya

Производная: основные определения и понятия

Данная статья рассматривает основные понятия, для решения задач с производными с одной переменной.

Определение 1

Пусть х – это аргумент функции f(x) и ∆x возьмем малое число, не равное 0. Значение ∆x называют приращением аргумента функции и читают как «дельта икс». На рисунке видно, что красная линия относится для изменений аргумента от значения х до x+∆x.

Определение 2

Когда значение аргумента x0 переходит к x0+∆x, тогда и значение функции меняется от f(x0) до f(x0+∆x), если имеется условие монотонности функции из отрезка [x0;x0+∆x]. Приращение функции f(x) – это разность f(x0+∆x)-f(x0)=∆f(x) приращения аргумента. Это приведено на рисунке, расположенном ниже.

Пример 1

Для полного уяснения рассмотрим на конкретном примере. Если взять функцию f(x)=sin(x2), тогда следует зафиксировать точку x0=1.6 и приращение аргумента вида ∆x=0.4. Тогда получим, что приращение функции при переходе от x0=1.6 к x0+∆x=1.6+0.4=2 будет равно:

∆f(x)=∆sin(x2)=sin((x0+∆x)2)-sin(x02)==sin 22-sin 1.62=sin 4-sin 2.56≈-1.306

Так как приращение ∆f(x) отрицательное из отрезка [1.6; 2], то это указывает на убывание функции. Обозначим это графически.

Определение производной функции в точке

Когда функция вида f(x) определена из промежутка (a;b), тогда x0 и x0+∆x считаются точками данного промежутка. Производная функции f(x) в точке x0 – это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда ∆x→0. Данное определение записывается как f'(x0)=lim∆x→0∆f(x)∆x.

Если последний предел принимает конкретное значение, тогда существует конечная производная в точке. Когда предел бесконечен, то и сама производная бесконечна в этой точке. Когда предел не существует, то и производной в заданной точке не существует.

Когда функция вида f(x) дифференцируема в каждой точке из промежутка (a;b), тогда функцию называют дифференцируемой на заданном промежутке. Отсюда получаем, что любая точка х из промежутка (a;b) может принимать значения функции f'(x), иначе говоря, имеет место определение новой функции вида f'(x), которая называется производной функции f(x) из интервала (a;b).

Нахождение производной иначе называют дифференцированием

Из выше указанного получаем, что производная в точке является числом, а производная функции на промежутке является функцией. Когда необходимо вычислять производную, обязательно обращаемся к нахождению переделов.

Пример 2

Найти производную функции sin(2x) в точке x0=π6.

Решение

Для нахождения производной в точке необходимо начать с написания предела отношения приращения функции к приращению аргумента, применив тригонометрические формулы. Получаем, что

(sin(2×0))'=lim∆x→0∆sin(2×0)∆x=lim∆x→0sin(2(x0+∆x))-sin(2×0)∆x==lim∆x→02·sin2(x0+∆x)-2×03·cos2(x0+∆x)+2×02∆x==2·lim∆x→0sin(∆x)·cos(2×0+∆x)∆x

Для упрощения используем первый замечательный предел и в результате получаем, что

(sin(2×0))'=2·lim∆x→0sin(∆x)·cos(2×0+∆x)∆x==2·lim∆x→0sin(∆x)∆x·lim∆x→0cos(2×0+∆x)==2·1·cos(2×0+0)=2cos(2×0)=2cos2·π6==2cosπ3=2·12=1

Ответ: (sin(2×0))'=1.

Пример 3

Найти производную функции f(x)=3×3-1 из промежутка x∈133; +∞

Решение

Для поиска производной из интервала понимаем, что результат должен быть функцией. Тогда x0=x, где значение х возьмем любое число из заданного промежутка x∈133; +∞. Из определения видно, что производной считают отношение приращения функции на приращение аргумента, который стремится к нулю. Запишем

f'(x)=3×3-1'=lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)∆x==lim∆x→03(3+∆x)3-1-3×3-1∆x=00

Получаем неопределенность в результате. Поэтому следует произвести домножение на сопряженное выражение для применения формул сокращенного умножения, приведения подобных слагаемых и последующим сокращением выражения. Тогда получим, что

f'(x)=lim∆x→03(x+∆x)3-1-3×3-1∆x==lim∆x→0(3(x+∆x)3-1-3×3-1)(3(x+∆x)3-1+3×3-1)∆x·(3(x+∆x)3-1+3×3-1)==lim∆x→03(x+∆x)3-1-3×3-12∆x·3(x+∆x)3-1+3×3-1==lim∆x→03(x+∆x)3-1-(3×3-1)∆x·3(x+∆x)3-1+3×3-1==3·lim∆x→03×2+3x∆x+(∆x)23(x+∆x)3-1+3×3-1==3·3×2+3x·0+(0)23(x+0)3-1+3×3-1=9x223x3-1

Ответ: 3×3-1'=9x223x3-1 и x∈133; +∞

Для решения таких примеров необходимо учитывать то, что область определения функции f(x) может не совпадать с областью определения производной этой функции.

Предыдущий пример имеет область определения вида Dfx:x∈[133;+∞), а производная определена на интервале Dfx:x∈133;+∞.

Получение формул таблиц производных основано на определении производной. Они достаточно удобны, что способствует скорейшему дифференцированию сложных выражений. Использование понятия производной применяют для доказательств правил дифференцирования.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/proizvodnye/proizvodnaja/

Производная функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

Примеры решения

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/proizvodnuyu-funkcii-primery-reshenij.html

Значение слова ПРОИЗВОДНЫЙ. Что такое ПРОИЗВОДНЫЙ?

• ПРОИЗВО́ДНЫЙ, -ая, -ое; -ден, -дна, -дно.1. Произведенный, образованный от чего-л. другого. Производная величина. Производное слово. □ В. И. Вернадский указывал: материки и океаны являются главными структурами земной коры. Все же остальные «детали» лица планеты второстепенны, они возникали и пропадали, ибо они вторичны и производны от главных структур. Адабашев, Мировые загадки сегодня.2.в знач. сущ.произво́дная, -ой, ж. Мат. Основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

• ПРОИЗВО'ДНЫЙ, ая, ое. 1. Произведенный, образованный от другой, простейшей или основной величины, формы, категории (книжн.). Производная величина. Слово «паровой» — производное от «пар».2.в знач. сущ.произво́дная, ой, ж. В высшей математике — отношение бесконечно-малого приращения зависимого переменного (функции) к бесконечно-малому приращению независимого переменного (мат.). Скорость тела — производная от пути по времени.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

• 1. книжн. образованный, произведённый от другой, простейшей или основной величины, формы, категории

Источник: Викисловарь

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: интернационал — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Предложения со словом «производный»

• Класс SCanvas — производный от класса Canvas, его конструктор принимает единственный параметр Display.
• Пишон в одной из своих работ по теории словообразования назвал механизм, ведущий мысль от производящей основы к производному слову, d?marrage psychologique (т.
• Право титульного владельца носит производный характер, такой владелец осознаёт свою связанность условиями, на которых ему передано прямое владение вещью.
• (все предложения)

Цитаты из русской классики со словом «производный»

• – Забыли, что социализм выдуман буржуазией и является производным от нищенской фантастики христианства. Горький Максим, Жизнь Клима Самгина, 1936
• Между тем под понятием этим разумеются различными историками совершенно различные, и вовсе неравные видимому движению, силы. Одни видят в нем силу, непосредственно присущую героям, как мужик чорта в паровозе; другие, — силу производную из некоторых других сил, как движение колес; третьи, — умственное влияние, как относимый дым. Толстой Л. Н., Война и мир. Том четвёртый, 1873
• Я, Д-503, строитель «Интеграла», – я только один из математиков Единого Государства. Мое привычное к цифрам перо не в силах создать музыки ассонансов и рифм. Я лишь попытаюсь записать то, что вижу, что думаю – точнее, что мы думаем (именно так: мы, и пусть это «МЫ» будет заглавием моих записей). Но ведь это будет производная от нашей жизни, от математически совершенной жизни Единого Государства, а если так, то разве это не будет само по себе, помимо моей воли, поэмой? Будет – верю и знаю.
• (все цитаты из русской классики)

Сочетаемость слова «производный»

Все определения к слову ПРОИЗВОДНЫЙ

Понятия со словом «производный»

• Произво́дная (-ый, -ое) — произведённая, образованная от другой, простейшей или основной величины, формы, категории.
• Производная — фундаментальное математическое понятие, используемое в различных вариациях (обобщениях) во многих разделах математики. Это базовая конструкция дифференциального исчисления, допускающая много вариантов обобщений, применяемых в математическом анализе, дифференциальной топологии и геометрии, алгебре.
• Производный финансовый инструмент, дериватив (англ. derivative) — договор (контракт), по которому стороны получают право или обязуются выполнить некоторые действия в отношении базового актива. Обычно предусматривается возможность купить, продать, предоставить, получить некоторый товар или ценные бумаги. В отличие от прямого договора купли/продажи, дериватив формален и стандартизирован, изначально предусматривает возможность минимум для одной из сторон свободно продавать данный контракт, то есть является…
• Производное слово, дериват (лат. derivatum — производное) — главное, исходное понятие словообразования, обозначающее слово, образованное, произведённое от какого-либо другого слова или словосочетания: лёд → ледник, ледяной, обледенеть; колоть лёд → ледокол; голый лёд → гололёд, гололедица и тому подобных.
• Производное произведение — это произведение, основанное на одном или нескольких ранее существовавших произведениях, включающие такие элементы, как перевод на другой язык, музыкальную аранжировку, постановку на сцене, художественную обработку, кинопостановку, звукозапись, художественное воспроизводство, конспектирование, сокращение, или любые другие действия, при которых произведение может принять новую форму, трансформироваться или адаптироваться. Произведение, состоящее из редакторских исправлений…
• (все понятия)

Источник: https://kartaslov.ru/%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0/%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B9

Алгебра – 10 класс. Производная

Что будем изучать:

1. Введение в понятие производной.2. Чуть-чуть истории.3. Определение производной.4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной.5. Алгоритм нахождения производной функции.6. Дифференцирование функции.7. Примеры.

Введение в понятие производной

Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом.

Например, если рассмотреть такие задачи как: а) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет.

б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.

г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной.Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.

Чуть-чуть истории

Термин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.

Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно. Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики.

Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.

Определение производной

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала.

Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0).

Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком:На математическом языке: производная – предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.На обычном языке: производная – скорость изменения функции в точке x0.

Давайте посмотрим на графики трех функций:

Ребята, как вы думаете, какая из кривых растет быстрее?Ответ, кажется, очевиден всем 1 кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами — насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная на графике функции. Геометрический смысл производной

Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:

Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.Определение.

Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. f' (x0)=tg(α) Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.

И так производная нашей функции равна:

И так производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной.

Алгоритм нахождения производной функции

Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).а) Зафиксировать значение x, найти f(x).б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).г) Составить соотношение: Δy/Δxд) Вычислить – это и есть производная нашей функции.

Дифференцирование функции

Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).Вернемся к вопросу непрерывности функции.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную.И так запишем выше сказанное как определение:Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.

Примеры производной

Найти производную функции: y=3xРешение:Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3×2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx 3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δx 4) Составим соотношение: 5)Найдем предел:

Ответ: f' (x)=3

Найти производную функции y=5×2

Решение:Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.

1)Для фиксированного значения x, значение функции y=5×2

2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=5(x+ Δx)2=5(x2+2xΔx+Δx2)

3)Найдем приращение функции:

Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 5×2+10xΔx+5Δx2-5×2=10xΔx+5Δx2

4) Составим соотношение: 5)Найдем предел:

Ответ: f' (x)=10x

Найти производную функции y=2×2-x+1

Решение: Будем пользоваться алгоритмом поиска производной. 1)Для фиксированного значения x, значение функции

y=2×2-x+1

2)В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=2(x+ Δx)2-(x+ Δx)+1= =2(x2+2xΔx+Δx2 )-(x+ Δx)+1

Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= = 2×2+4xΔx+ 5Δx2-(x+ Δx)+1-2×2+x-1= =4xΔx+5Δx2-Δx

3) Составим соотношение: 5)Найдем предел:

Ответ: f' (x)=4x-1

Задачи для самостоятельного решения

Найти производную функции:а) $y=5$; б) $y=10x$; в) $y=2×2+x$; г) $y=3×3$.

Источник: https://mathematics-tests.com/algebra-10-klass-urok-proizvodnaya