Как найти экстремум

Содержание

Как найти экстремум

Как найти экстремум

13.03.2018

Что будем изучать: 1. Введение. 2. Точки минимума и максимума. 3. Экстремум функции. 4. Как вычислять экстремумы? 5. Примеры.

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них.

До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого — опять возрастает.

Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:

Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:

Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 — это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 — это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

Ребята, а что такое окрестность?

Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

ymin — точка минимума,
ymax — точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0.

Тогда:

  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f’(x) < 0, а при x > x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f ’(x)>0, а при x> x0 выполняется f’(x)

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

  • Найти производную y’.
  • Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
  • Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
  • По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x3

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y'= 12 — 3×2, б) y'= 0, при x= ±2,

в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции. Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а)б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя,Область определения функции: [2; +∞], в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена.

Найдем значения, в которой производная равна нулю:в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= 3 — точка минимума функции. Ответ: x= 3 — точка минимума функции.

3) Найти точки экстремума функции y= x — 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом: а) y'= 1 + 2sin(x), б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2, т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,

в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.

Точка x= -5π/6 — точка максимума функции. Точка x= -π/6 — точка минимума функции. Ответ: x= -5π/6 — точка максимума функции, x= -π/6 — точка минимума функции.

4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:а)б) найдем значения в которой производная равна нулю: y'= 0 при x= ±2,

в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.

Точка x= -2 точка минимума функции. Точка x= 2 — точка минимума функции. В точке x= 0 функция не существует. Ответ: x= ±2 — точки минимума функции.
а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5×3 — 15x — 5.

б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) — x при π ≤ x ≤ 3π.

г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Источник:

Найти экстремумы функции

Данный калькулятор предназначен для нахождения экстремумов функции.
Следует различать понятия точек экстремума и экстремумов функции. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox. Точка x0 является точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности выполняется неравенство f(x0)≥f(x).

Точка x0 является точкой минимума функции y=f(x), если из ее окрестности для всех x выполняется неравенство f(x0)≤f(x). Значения функции, которые соответствуют точкам экстремума, называются экстремумами функции, это значения на оси Oy.

Для того чтобы найти экстремумы функции можно использовать любой из трех условий экстремума, если функция удовлетворяет эти условиям.

Первым достаточным условием экстремума являются следующие утверждения: если в точке x0 функция непрерывна, и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума, а если в данной точке производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Вторым признаком экстремума является следующее утверждение: если производная второго порядка от x0 больше нуля, то x0 – точка минимума; если меньше нуля, то x0 – точка максимума. Третье достаточное условие экстремума функции заключается в следующем.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в окрестности точки x0 и производные до n+1-ого порядка в самой точке x0; пусть f’(x0)= f’’(x0)= f’’’(x0)=…=f(n)( x0)=0 и f(n+1)( x0)≠0. Тогда, если n – нечетное, то x0 – точка экстремума.

Если f(n+1)( x0)>0, то x0 – точка минимума, а, если f(n+1)( x0)

Основные функциимодуль x: abs(x)

  • : Sqrt[x]
  • : x(1/n)
  • : ax
  • : Log[a, x]
  • : Log[x]
  • : cos[x] или Cos[x]
  • : sin[x] или Sin[x]
  • : tan[x] или Tan[x]
  • : cot[x] или Cot[x]
  • : sec[x] или Sec[x]
  • : csc[x] или Csc[x]
  • : ArcCos[x]
  • : ArcSin[x]
  • : ArcTan[x]
  • : ArcCot[x]
  • : ArcSec[x]
  • : ArcCsc[x]
  • : cosh[x] или Cosh[x]
  • : sinh[x] или Sinh[x]
  • : tanh[x] или Tanh[x]
  • : coth[x] или Coth[x]
  • : sech[x] или Sech[x]
  • : csch[x] или Csch[е]
  • : ArcCosh[x]
  • : ArcSinh[x]
  • : ArcTanh[x]
  • : ArcCoth[x]
  • : ArcSech[x]
  • : ArcCsch[x]
  • [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)
  • Источник:

    Экстремумы функции, максимум и минимум

    Онлайн калькуляторы

    На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

    Источник: https://soveti-masterov.com/sovety/kak-najti-ekstremum.html

    Понятие экстремума функции

    Как найти экстремум
    Определение

    Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$.

    Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$.

    Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума –локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

    Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локальногомаксимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливострогое неравенство $f(x)< f\left(x_{0}\right)$.

    Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локальногоминимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будетсправедливо строгое неравенство $f(x)>f\left(x_{0}\right)$.

    Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.
    Замечание

    Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

    Необходимое условие экстремума

    Теорема

    (Необходимое условие экстремума)

    Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_{0}$, то ее производная $f{\prime}\left(x_{0}\right)$ либо равна нулю, либо не существует.

    Точки, в которых производная равна нулю: $f{\prime}(x)=0$,называются стационарными точками функции.

    Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называютсякритическими точками этой функции. То есть критические точки – это либо стационарные точки (решенияуравнения $f{\prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная $f{\prime}(x)$ не существует.

    Замечание

    Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

    Первое достаточное условие экстремума

    Теорема

    (Первое достаточное условие экстремума)

    Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

    1. функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
    2. $f{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ или $f{\prime}\left(x_{0}\right)$ не существует;
    3. производная $f{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак.

    Тогда в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с плюса на минус.

    Если производная $f{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке $x=x_{0}$ нет.

    Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$на экстремум, необходимо:

    1. найти производную $f{\prime}(x)$;
    2. найти критические точки, то есть такие значения $x$, в которых $f{\prime}(x)=0$ или $f{\prime}(x)$ не существует;
    3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
    4. найти значение функции в экстремальных точках.

    Пример

    Задание. Исследовать функцию $y(x)=x{4}-1$ на экстремум.

    Решение. Находим производную заданной функции:

    $y{\prime}=\left(x{4}-1\right){\prime}=4 x{3}$

    Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y{\prime}(x)=0$:

    $y{\prime}=4 x{3}=0 \Rightarrow x=0$

    Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку $x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

    Так как при переходе через точку $x=0$ производная сменила свой знак с “-” на “+”, то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем $y_{\min }=y(0)=0{4}-1=-1$.

    Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале $(-\infty ; 0)$ производная $y{\prime}(x)0$, значит заданная функция возрастает на нем.

    Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

    Теорема

    (Второе достаточное условие экстремума)

    Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

    1. она непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
    2. первая производная $f{\prime}(x)=0$ в точке $x_{0}$;
    3. $f{\prime \prime}(x) eq 0$ в точке $x_{0}$ .

    Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум, причем, если $f{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$, то в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f{\prime \prime}\left(x_{0}\right)

    Пример

    Задание. Исследовать функцию $y(x)=\frac{x{2}-1}{x{2}+1}$ на экстремум с помощью второй производной.

    Решение. Находим первую производную заданной функции:

    $y{\prime}(x)=\left(\frac{x{2}-1}{x{2}+1}\right){\prime}=\frac{2 x\left(x{2}+1\right)-\left(x{2}-1\right) \cdot 2 x}{\left(x{2}+1\right){2}}=\frac{4 x}{\left(x{2}+1\right){2}}$

    Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

    $y{\prime}(x)=0 \Rightarrow \frac{4 x}{\left(x{2}+1\right){2}}=0 \Rightarrow x=0$

    Вторая производная заданной функции:

    $y{\prime \prime}(x)=\left(\frac{4 x}{\left(x{2}+1\right){2}}\right){\prime}=\frac{4\left(x{2}+1\right){2}-4 x \cdot 2\left(x{2}+1\right) \cdot 2 x}{\left(x{2}+1\right){4}}=$

    $=-\frac{4\left(3 x{2}-1\right)}{\left(x{2}+1\right){3}}$

    В стационарной точке $x=0$ вторая производная $y{\prime \prime}(0)=-\frac{4 \cdot(-1)}{1{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем $y_{\min }=y(0)=\frac{0{2}-1}{0{2}+1}=-1$.

    Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

    Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

    Вы поняли, как решать? Нет?

    $ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестно”,”word_count”:639,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

    Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_22.php

    Алгебра – 10 класс. Точки экстремумов функций

    Как найти экстремум

    Что будем изучать:

    1. Введение.2. Точки минимума и максимума.3. Экстремум функции.4. Как вычислять экстремумы?5. Примеры.

    Введение в экстремумы функций

    Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

    Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них.

    До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1функция опять перегибается, и после этого – опять возрастает.

    Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:

    Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

    Посмотрим на график вот такой функции:

    Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 – это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 – это точка, вкоторой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

    Точки минимума и максимума

    Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

    Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

    Ребята, а что такое окрестность?

    Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

    Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

    Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению – это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению – это точка минимума.

    Ребята, давайте введем обозначения:

    ymin – точка минимума,
    ymax – точка максимума.

    Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

    Экстремумы функции

    Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

    Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

    Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

    Как же искать экстремумы функции?

    Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

    Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
    Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

    Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

    Примеры нахождения точки экстремумов

    1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x – x3

    Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
    а) y'= 12 – 3×2,б) y'= 0, при x= ±2,

    в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

    г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= -2 – точка минимума функции, точка x= 2 – точка максимума функции.Ответ: x= -2 – точка минимума функции, x= 2 – точка максимума функции.

    2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

    Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
    а) б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя,Область определения функции: [2; +∞], в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена.

    Найдем значения, в которой производная равна нулю:в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= 3 – точка минимума функции.Ответ: x= 3 – точка минимума функции.

    3) Найти точки экстремума функции y= x – 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

    Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:а) y'= 1 + 2sin(x),б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2, т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,

    в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.

    Точка x= -5π/6 – точка максимума функции.Точка x= -π/6 – точка минимума функции.Ответ: x= -5π/6 – точка максимума функции, x= -π/6 – точка минимума функции.

    4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

    Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0.

    Воспользуемся алгоритмом:
    а)б) найдем значения в которой производная равна нулю: y'= 0 при x= ±2,
    в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.Точка x= -2 точка минимума функции.Точка x= 2 – точка минимума функции. В точке x= 0 функция не существует.Ответ: x= ±2 – точки минимума функции.

    Задачи для самостоятельного решения

    а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5×3 – 15x – 5.б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

    в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) – x при π ≤ x ≤ 3π.

    г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

    Источник: https://mathematics-tests.com/algebra-10-klass-urok-ekstremumy-funktsii

    Экстремумы функции – алгоритм нахождения максимального и минимального значения функции

    Как найти экстремум

    Экстремумы представляют собой точки минимума и максимума на графике функции. Работа с функциями представляет собой один из базовых навыков математики, необходимый для дальнейшего развития знаний. Поэтому перед непосредственно переходом к вычислениям рассмотрим вкратце сами функции.

    Возьмем знаменитую формулу силы тока:

    I = ​ Здесь I – собственно сила тока, U – напряжение и R – сопротивление. Налицо зависимость значения силы тока от показателя напряжения. Функция — это общенаучное понятие, выражающее посредством формул зависимость между объектами.

    Примеры некоторых распространенных формул:

    y = x

    y = x2

    Способом наглядного изображения характера зависимости является график функции. Например, рис.1 и 2. Рис.1. График y=x Рис.2. График y=x2 Подставляя вместо  конкретные числа, находим конкретные точки на координатной сетке, через которые проходит график. Отметим, что видов функций великое множество, среди них тригонометрические, логарифмические и так далее. О них подробнее в соответствующих статьях. Также часто вместо y встречается знак ƒ(x), что означает “функция”. Соответственно – можно встретить выражения типа:

    ƒ(x) = x

    или

    y = ƒ(x) = x

    Можно сказать, что они синонимичны друг с другом.

    Несколько слов о производной

    Точки экстремума тесно связаны с производной. Это очень важное понятие как для математики, так и для естественных наук. Поясним, что это, на примере. Представьте себе пешехода, преодолевшего за время t расстояние S(t). Затем представим некое время t2, прошедшее после момента t. Суммарный путь обозначим S(t + t2).

    Тогда S(t2) = S(t + t2) – S(t). Если t2 невелико, то скорость движения пешехода в этот момент примерно равна средней скорости. Тогда Чем t2 меньше, тем v(t2) ближе к vср, ⇒ v(t) можно обозначить как предел ​\( \frac{S(t2)}{t2} \)​ при стремлении t2 к нулю.

    Выразим это формулой: В итоге по указанной формуле через S(x) можно вычислить расстояние, пройденное в x момент времени. Теперь вспомним формулу касательной к графику (подробнее в отдельной статье).

    Она выглядит так: Сравнив обе формулы, видим, что в обоих случаях применялось нахождение предела отношения приращения функции  и приращения аргумента  при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Обобщив эту информацию, получаем, что для любой ƒ(x) величина является производной функции в точке x0.

    Она обозначается как ƒ(x0). Для работы с производными существуют специальные формулы, подробнее о которых в соответствующей статье. Важно! Если в x0 функция имеет производную, она называется дифференцированной.

    Экстремальные задачи

    Понятие экстремума связано с решением соответствующих задач. На самом деле подобные задачи часто встречаются в нашей жизни. Например: найти наименьшую возможную площадь прямоугольного треугольника, если известна сумма длин его катетов. Это пример задачи на поиск минимума (min).

    Соответственно, если нужно найти максимальную площадь, мы будем искать максимум (max). Оба этих понятия объединяются термином экстремум. Задачи на поиск экстремумов называются экстремальными. Подобные задания известны еще с Древней Греции, но лишь с XVII в.

    начали вырабатываться универсальные алгоритмы их решения.

    Решение заданий на поиск экстремума

    Допустим, что имеется некая функция ƒ(x). Она ограничена определенным интервалом (a, b), который содержит в себе точку x0. Ее часто называют локальным экстремумом функции ƒ(x).

    Если найдется интервал (a0, b0), который принадлежит (a, b) и также содержащий x0, что условия ƒ(x) ≥ ƒ(x0), или ƒ(x) ≤ ƒ(x0), будет выполняться для всех x из подынтервала (a0, b0). Другими словами, в точке функция  достигает своего экстремального (минимального или максимального) значения.

    Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти производную исследуемой функции. Экстремумами будут точки, при которых производная обратится в 0.

    Пример решения

    Дано: ƒ(x) = x3 – 3x, соответственно,

    ƒ′(x) = 3×2 − 3

    приравниваем к 0

    3×2 − 3 = 0

    сокращаем

    x2 − 1 = 0

    x2 = 1

    Получаем ответ: x1 = 1; x2 = –1. Эти точки и являются экстремумами.  – min, – max. Изобразим это на графике (рис.3) оригинальной функции ƒ(x) = x3 – 3x Рис.3. Точки экстремума   Важно! Как видно, после точек экстремума график продолжается. Таким образом, можно заключить, что указанные точки являются экстремумами на отрезке [–1, 1] по оси x. Поэтому указанные точки будут локальными экстремумами. Но как тогда найти глобальные точки экстремума? Для этого обратимся к задаче из начала текста. Обозначим площадь треугольника как S, сумму длин катетов как a и как x – длину одного из катетов. Получаем формулу:

    S(x) = x(a−x)2

    x – не может быть отрицательным, поэтому его диапазон [0, a]. Следовательно функция дифференцируема на интервале (0, a). Находим производную

    S′(x) = 0,5 − x

    решаем как уравнение

    0,5 − x = 0

    x = 0,5a = ​\( \frac{a}{2} \)​

    Эта точка будет локальным максимумом.

    Источник: https://nauka.club/matematika/ekstremumy-funkcii.html

    Экстремум функции двух переменных

    Как найти экстремум

    Найти экстремум функции двух переменных $ z = z(x,y) $

    План решения

    Экстремумы функции двух переменных возможны в стационарных точках функции. Стационарными точками называются точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2)… $, в которых первые частные производные функции равны нулю: $ z(x,y) = 0 $

    Для нахождения стационарных точек (подозрительных на экстремум) составляем систему:

    $$ \begin{cases} z'_x = 0 \\ z'_y = 0 \end{cases} $$

    Решая систему получаем точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2)… $, каждую из которых нужно проверить на экстремум.

    Проверку осуществляется с помощью подстановки точек в выражение, называемое достаточным условием существования экстремума:

    $$ A = z''_{xx} \cdot z''_{yy} – (z''_{xy})2 $$

    Если в точке $ M(x_1,y_1) $:

    1. $ A>0 $ и $ z''_{xx} > 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка минимума
    2. $ A >0 $ и $ z''_{xx} < 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка максимума
    3. $ A < 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ не является точкой экстремума
    4. $ A = 0 $, то требуется дополнительное исследование (по определению)

    Итак, необходимо выполнить действия:

    1. Найти частные производные первого порядка. Приравнять их к нулю и решить систему уравнений. Получить точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $
    2. Найти частные производные второго порядка в точках $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $
    3. Используя достаточное условие существования экстремума делаем вывод о наличии экстремума в точках $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2),… $

    Примеры решений

    Пример 1
    Найти экстремумы функции двух переменных $ z = x2 -xy +y2 $
    Решение
    Находим частные производные первого порядка:$$ z'_x = 2x – y $$ $$ z'_y = -x + 2y $$Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему двух уравнений:$$ \begin{cases} 2x-y = 0 \\ -x + 2y = 0 \end{cases} $$Решив систему получаем стационарную точку (подозрительные на экстремум):$$ M (0,0) $$Далее вычисляем значения частных производных второго порядка в точке $ M $:$$ z''_{xx} \Big |_M = 2 $$ $$ z''_{yy} \Big |_M= 2 $$ $$ z''_{xy} \Big |_M = -1 $$Подставляя найденные значения в достаточное условие экстремума функции, проводим исследование знаков:$$ A = \Big |_M = z''_{xx} \Big |_M \cdot z''_{yy} \Big |_M – (z''_{xy} \Big |_M)2 = 2 \cdot 2 – (-1)2 = 3 $$Так как получили $ A > 0 $ и $ z''_{xx} > 0 $, то получается $ M(0,0) $ точка минимума.Наименьшее значение находится в минимуме и равно:$$ z_{\min} (0,0) = 02 – 0 \cdot 0 + 02 = 0 $$Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
    Ответ
    В точке $ M(0,0) $ находится минимум функции; $ z_{\min} = 0 $
    Пример 2
    Найти экстремумы функции двух переменных $ z = x3 + y3 – 15xy $
    Решение
    Составляем систему уравнений из частных производных первого порядка:$$ \begin{cases} z'_x = 3×2 – 15y = 0 \\ z'_y = 3y2 – 15x =0 \end{cases} $$Получаем стационарные точки $ M_1(0,0) $ и $ M_2(5,5) $, которые необходимо проверить через достаточное условие экстремума.Вычисляем значение частных прозводных второго порядка в точке $ M_1 $:$$ z''_{xx} \Big |_{M_1} = 6x \Big |_{M_1} = 0 $$$$ z''_{yy} \Big |_{M_1} = 6y \Big |_{M_2} = 6y \Big |_{M_2} = 0 $$$$ z''_{xy} \Big |_{M_1} = -15 $$Подставляем данные значения в формулу достаточного условия экстремума:$$ A \Big |_{M_1} = 0 \cdot 0 – (-15)2 = -225 $$Так как $ A < 0 $, то в точке $ M_1(0,0) $ экстремума нет.Получаем значения частных производных 2 порядка в $ M_2 $:$$ z''_{xx} \Big |_{M_2} = 6x \Big |_{M_2} = 6 \cdot 5 = 30 $$$$ z''_{yy} \Big |_{M_2} = 6y \Big |_{M_2} = 6 \cdot 5 = 30 $$$$ z''_{xy} \Big |_{M_2} = -15 $$Вычисляем значение выражения достаточного условия экстремума:$$ A = 30 \cdot 30 - (-15)2 = 900 - 225 = 675 $$Получили $ A > 0 $ и $ z''_{xx} > 0 $, то значит, $ M_2(5,5) $ точка минимума.Наименьшее значение функции $ z = x3 + y3 – 15xy $ равно:$$ z_{\min} |_{M_2} = 53 + 53 – 15 \cdot 5 \cdot 5 = 125 + 125 – 375 = -125 $$
    Ответ
    В $ M_1 (0,0) $ экстремума нет, в $ M_2(5,5) $ минимум функции $ z_{\min}=-125 $ 

    Нужно подробное решение своей задачи?

    ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

    Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/ekstremum-funkcii-dvuh-peremennyh.html

    Максимумы, минимумы и экстремумы функций

    Как найти экстремум

    Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

    Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции

    Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

    В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю

    Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

    Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

    Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

    У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

    Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

             

    Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

    – Производная положительна там, где функция возрастает.
    – Производная отрицательна там, где функция убывает.

    С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

    Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

    Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

    Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

    \(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

    \(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

    \(-7\): минимум.

    \(3\): максимум.

    Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

    – Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
    – Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

    Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

    1. Найдите производную функции \(f'(x)\). 
    2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\). 
    3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
    4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
    5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
    6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2: – если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума; – если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;

      – если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.

    Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

    Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

    Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3×5-20×3-54\).
    Решение: 1. Найдем производную функции: \(y'=15×4-60×2\).

    2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

    \(15×4-60×2=0\)      \(|:15\) \(x4-4×2=0\) \(x2 (x2-4)=0\) \(x=0\)       \(x2-4=0\)

                   \(x=±2\)

    3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

    Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

    Ответ. \(-2\).

    Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
    Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

    Скачать статью

    Источник: http://cos-cos.ru/math/327/

    Поделиться:
    Нет комментариев

      Добавить комментарий

      Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.