Как рассчитать отклонение

Содержание

Как посчитать отклонение в процентах к предыдущему году?

Как рассчитать отклонение

» Прочее »

Вопрос знатокам: как посчитать процент отклонения отчетного года от предыдущего года?

С уважением, Юлия Берзенева

Лучшие ответы

Берешь данные отчетного года минус предыдущий год-это будут абсолютные отклонения, т. е. в суммовом выражений, А что бы посчитать Темпы роста, надо отчетный год разделить на предыдущий и умножить на 100.

-ответ

Это видео поможет разобраться

Ответы знатоков

Фактическую цифру умнож. на 100 и разделить на цифру плановую. От данного значения минус 100.Если результат отрицательный то значит на столько план не выполнен если положительный то соответственно перевыполнен план.

Факт / План — 100 * 100 (результат — это проценты)
положительное значение — план превышен, отрицательное — соответственно, наоборот!

Например план 3000 шт. , сделано 3500 3000 — 100%3500 — х следовательно х=117% план перевыполнен на 17%, или 3000 а сделали 20003000 — 100%

2000 — х х=67% план недовыполнен на 33%. Удачи.

Где логика решения данной задачи???
Ни у одного ответившего нет математической логики данных решений!

Привожу пример:Плановая величина (по плану) = 195Фактическая величина (измеренная, высчитанная) = 112Что в данном случае нам может быть и известно.

Для начала расчёта «отклонение от плана В ПРОЦЕНТАХ», нам понадобится найти Абсолютное отклонение от плана (разница фактической и плановой величины). 112-195=(-83) — Это Абсолютное отклонение.

(Если со знаком -(минус) значит план не превышен, наоборот если со знаком +(плюс) то значит план превышен. С этим разобрались, поехали…

Далее чтобы найти «отклонение от плана В ПРОЦЕНТАХ» берём величину (абсолютное отклонение) делим на плановую величину «195» и получаемый результат выражаем в процентах, а то бишь умножаем на 100.

Формулы, для тех кому лениво читать:((факт-план) /план) *100=процентное отклонение.((112-195)/195)*100=(-42,56)Из примера по порядку:112-195=(-83)-83/195=(-0,4256)

-0,4256*100=(-42,56% Вот и наше отклонение).

P.S. Я не говорю что у ответивших людей — ответы неправильные. Я лишь написал потому-что люди либо не понимают, либо не знают логики исчисления процентного отклонения.Ответившая: «НатулЁк Мыслитель (5694) 7 лет назад»Привела совсем не правильную формулу. Из которой получается не**ический ответ.

Всем спасибо за внимание.

UB1AFU Ученик (105) 1 месяц назад

возьми с полки пирожок

Источник: https://dom-voprosov.ru/prochee/kak-poschitat-otklonenie-v-protsentah-k-predydushhemu-godu

Как рассчитать отклонение

Как рассчитать отклонение

Многие экономисты ломают себе голову над тем, как рассчитать стандартное отклонение и что это такое. Кроме того, им еще нужно знать, что такое абсолютное отклонение и относительное. В этой статье описаны методы расчетов этих отклонений.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение, как рассчитать его? Для начала нужно понять, что же такое стандартное отклонение. Это очень существенный показатель рассеяния в разделе описательной статистики. Стандартное отклонение можно рассчитать по следующему алгоритму:

  1. Сначала — вычисление среднего арифметического выборки данных.
  2. Затем нужно вычесть среднее арифметическое от каждого элемента выборки.
  3. Каждую полученную разницу следует возвести в квадрат.
  4. Сложить все квадраты разниц, полученные в пункте 3.
  5. Поделить сумму квадратов на количество элементов выборки.
  6. Теперь из этого частного нужно извлечь квадратный корень.

Результат, который вы получите, и будет являться стандартным отклонением.

Абсолютное отклонение

Как рассчитать абсолютное отклонение? Абсолютным отклонением можно назвать разницу, получаемую при вычитании одной величины из другой, этот способ является выражением сложившихся положений вещей между плановым и фактическим параметрами.

Известно, что определенную проблему обычно вызывает такой показатель, как знак абсолютного отклонения. Обычно считается, что отклонение, которое позитивно сказывается на прибыли предприятия, считается положительным, и в вычислениях его ставят со знаком «+».

Что же касается банальной математики, такой подход считается не совсем корректным, а это, в свою очередь, вызывает конфликты и разногласия среди специалистов. Исходя из этого, на практике вычисления абсолютного отклонения зачастую пользуются не базовой экономической, а математической моделью.

Математическая модель   заключается в том, что повышение фактического оборота в сравнении с запланированным обозначается знаком «+», а уменьшение фактических издержек в сравнении с плановыми обозначается знаком «-».

Относительное отклонение

Как рассчитать относительное отклонение? Отклонение можно рассчитывать, опираясь на отношение к другим величинам, а это значит, что данный показатель выражается в процентах.

Зачастую относительные отклонения вычисляются по отношению к относительно базовому значению или параметру.

К примеру, можно выразить относительное отклонение, допустим, тех же затрат на материалы, как отношение к суммарной затрате или в проценте к обороту.

В применении относительных отклонений следует учесть, что их наличие способствует повышению уровня информативности анализа, который мы проводим, а следовательно, позволяет более отчетливо оценивать изменение, которое произошло в системе.

Так, можно рассмотреть все на данном примере, возьмём величину абсолютного отклонения оборота, которая будет равна 1000 — 800 = 200.

Данная цифра воспринимается в расчете относительного отклонения не так наглядно, как, к примеру, величина отклонения, показатели в которой выводятся в процентах: (1000 — 800) / 800 * 100% = 25%. Согласитесь, это все-таки режет глаз.

Селективное отклонение

Как рассчитать отклонение такого рода? Этот способ расчета отклонения подразумевает сравнение контролируемых величин на определенном промежутке времени, это может быть такой показатель времени, как квартал или месяц, иногда даже это бывает день.

Сравнивание интересующих нас величин за определенный промежуток времени (к примеру, месяц, давайте возьмем май) текущего года с тем же маем предыдущего года может дать нам  более информативное сравнение с предыдущим месяцем, который рассматривается в плановом периоде.

Селективное отклонение актуальны для фирм, которые занимаются поставкой сезонных услуг. Далее будут описаны еще несколько видов отклонений, знание которых может существенно облегчить вашу жизнь.

Кумулятивное отклонение

Кумулятивным отклонением можно назвать сумму, исчисляемую нарастающим итогом (кумулятивная сумма), и ее отклонение позволяет оценить уровень достижения за определенные периоды (месяцы) или же возможную разницу к окончанию определенного периода.

Возникающее в отдельном периоде случайное колебание параметра деятельности предприятия может привести к значительному отклонению на коротком отрезке времени.

Сама же кумуляция компенсирует случайные отклонения и позволяет более точным образом определить тренд. 

Отклонение во временном разрезе

Как рассчитать отклонение во временном разрезе? Для данного отклонения типичным является сравнение типа факт — план. Отклонение определяется на основании сравнения бюджетного и фактического реализованного значения контролируемого параметра.

Этот подход к вычислению отклонений очень важен при негативном отклонении плановой величины от фактической. Также благодаря этому методу появляется возможность оперировать реальными фактами вместо того, чтобы опираться на плановые и желаемые показатели. 

Источник:

Как посчитать процент отклонения в Excel по двум формулам

Понятие процент отклонения подразумевает разницу между двумя числовыми значениями в процентах. Приведем конкретный пример: допустим одного дня с оптового склада было продано 120 штук планшетов, а на следующий день – 150 штук.

Разница в объемах продаж – очевидна, на 30 штук больше продано планшетов в следующий день. При вычитании от 150-ти числа 120 получаем отклонение, которое равно числу +30.

Возникает вопрос: чем же является процентное отклонение?

Процент отклонения вычисляется через вычитание старого значения от нового значения, а далее деление результата на старое значение. Результат вычисления этой формулы в Excel должен отображаться в процентном формате ячейки. В данном примере формула вычисления выглядит следующим образом (150-120)/120=25%. Формулу легко проверить 120+25%=150.

Обратите внимание! Если мы старое и новое число поменяем местами, то у нас получиться уже формула для вычисления наценки.

Ниже на рисунке представлен пример, как выше описанное вычисление представить в виде формулы Excel. Формула в ячейке D2 вычисляет процент отклонения между значениями продаж для текущего и прошлого года: =(C2-B2)/B2

Важно обратит внимание в данной формуле на наличие скобок. По умолчанию в Excel операция деления всегда имеет высший приоритет по отношению к операции вычитания.

Поэтому если мы не поставим скобки, тогда сначала будет разделено значение, а потом из него вычитается другое значение. Такое вычисление (без наличия скобок) будет ошибочным.

Закрытие первой части вычислений в формуле скобками автоматически повышает приоритет операции вычитания выше по отношению к операции деления.

Правильно со скобками введите формулу в ячейку D2, а далее просто скопируйте ее в остальные пустые ячейки диапазона D2:D5.

Чтобы скопировать формулу самым быстрым способом, достаточно подвести курсор мышки к маркеру курсора клавиатуры (к нижнему правому углу) так, чтобы курсор мышки изменился со стрелочки на черный крестик.

После чего просто сделайте двойной щелчок левой кнопкой мышки и Excel сам автоматически заполнит пустые ячейки формулой при этом сам определит диапазон D2:D5, который нужно заполнить до ячейки D5 и не более. Это очень удобный лайфхак в Excel.

В альтернативной формуле, вычисляющей относительное отклонение значений продаж с текущего года сразу делиться на значения продаж прошлого года, а только потом от результата отнимается единица: =C2/B2-1.

Как видно на рисунке результат вычисления альтернативной формулы такой же, как и в предыдущей, а значит правильный. Но альтернативную формулу легче записать, хот и возможно для кого-то сложнее прочитать так чтобы понять принцип ее действия. Или сложнее понять, какое значение выдает в результате вычисления данная формула если он не подписан.

Единственный недостаток данной альтернативной формулы – это отсутствие возможности рассчитать процентное отклонение при отрицательных числах в числителе или в заменителе. Даже если мы будем использовать в формуле функцию ABS, то формула будет возвращать ошибочный результат при отрицательном числе в заменителе.

Так как в Excel по умолчанию приоритет операции деления выше операции вычитания в данной формуле нет необходимости применять скобки.

Источник:

Как правильно рассчитать отклонение, и для чего это нужно

Для эффективного анализа данных и для нахождения проблемных участков в производстве необходимо находить отклонения в показателях. Отклонения бывают нескольких видов и отличаются как единицами измерения, так и способом получения, среди них можно выделить:

  • Стандартное отклонение;
  • Абсолютное отклонение;
  • Относительное отклонение;
  • Селективное отклонение;
  • Кумулятивное отклонение;
  • Отклонение во временном разрезе.

Как рассчитать отклонение в каждом случае, вы узнаете из этой статьи.

Как определить динамику изменения значений при отклонении

Нередко для того, чтобы понять насколько плавно изменяется тот или иной показатель на нескольких отрезках времени, простого среднего значения, сравниваемого с наименьшим или наибольшим числом из ряда – недостаточно. В таких случаях для более глубоко анализа применяется нахождение стандартного отклонения, показывающего более четко динамику изменения значений.

Пример:

Даны показатели затрат на средства уборки для двух заведений: 10, 21, 49, 15, 59 и 31, 29, 34, 27, 32, где средним значением будет 30,8 и 30,6.

Показатели в среднем приблизительно одинаковы, однако даже визуально видно, что значения в одном заведении изменяются не равномерно, что их контроль производится от случая к случаю. Но для более полного представления необходимо найти стандартное отклонение. Оно будет равно: 19,51 и 2,4.

При среднем значении в первом заведении 30,8 показатели отклоняются от него более чем существенно – 21,8, соответственно у вас есть подтверждение небрежного отношения к работе.

Источник: https://soveti-masterov.com/instruktsii/kak-rasschitat-otklonenie.html

Как найти среднеквадратическое отклонение

Как рассчитать отклонение

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение.

Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько.

В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

  • Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
  • Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
  • Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собакиРост в миллиметрах
Ротвейлер600
Бульдог470
Такса170
Пудель430
Мопс300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее   мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия мм2.

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм2.

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

  • Когда мы имеем дело с генеральной совокупностью при вычислении дисперсии, мы делим на  (как и было сделано в рассмотренном нами примере).
  • Когда мы имеем дело с выборкой, при вычислении дисперсии делим на .

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки =  мм2.

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

.

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

.

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

.

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

.

Для второго примера получится:

.

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Источник: https://yourtutor.info/%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5-%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Как правильно рассчитать отклонение, и для чего это нужно

Как рассчитать отклонение

Для эффективного анализа данных и для нахождения проблемных участков в производстве необходимо находить отклонения в показателях. Отклонения бывают нескольких видов и отличаются как единицами измерения, так и способом получения, среди них можно выделить:

  • Стандартное отклонение;
  • Абсолютное отклонение;
  • Относительное отклонение;
  • Селективное отклонение;
  • Кумулятивное отклонение;
  • Отклонение во временном разрезе.

Как рассчитать отклонение в каждом случае, вы узнаете из этой статьи.

Как выявить тренд отклонения

Сумма, исчисляемая нарастающим итогом, называется кумулятивным отклонением. Благодаря ему производится оценка параметра, его рост или падение за заданный промежуток времени, чаще всего месяц. А также позволяет спланировать конечный результат изменений за период.

Благодаря этому можно игнорировать случайные, несистематические изменения параметра, не влияющие на долгосрочную перспективу (весь период) и давать более четкую тенденцию движения параметра.

Она чаще всего показывается в виде прямой на графике, последовательно отмечающем все показатели параметра, и соединяющей начальную и конечную точки ломаной линии. Ее направление вниз или вверх и будет тенденцией.

Отклонение во временном разрезе

Зачастую с его помощью происходит сравнение фактического и планируемого показателя. Является крайне важным в случае негативного отклонения планового значения от фактического. Позволяет использовать в анализе реальный результат вместо планируемого или желаемого показателей.

Источник: https://finrussia.ru/articles/kak-pravilno-rasschitat-otklonenie/

Анализ отклонений по материалам

Как рассчитать отклонение

Анализ отклонений по материалам является одним из элементов системы учета затрат по нормативным показателям (Standard Costing). Такой анализ проводится на регулярной основе (как, правило в конце каждого квартала), а его задачей является установление причин отклонений фактической суммы использования основных материалов от ее нормативного значения, которое было заложено в бюджете.

Фактически, анализ отклонений по материалам является факторным анализом. При этом, двумя факторами, в результате действия которых может возникнуть отклонения, являются:

  • объем использования основных материалов;
  • цена закупки.

Схематически это представлено на рисунке ниже.

Целью, проведения такого анализа является определения влияния каждого из этих факторов на общую величину отклонения.

Отклонение по использованию

Отклонение основных материалов по использованию возникает в том случае, когда фактический объем использования основных материалов отклоняется от нормативного (заложенного в бюджете).

Формула

Рассчитать сумму такого отклонения можно воспользовавшись следующей формулой:

Отклонение основных материалов по использованию = [Qн – Qф] × Цн

Где Qн – нормативный объем использования основных материалов, Qф – фактический объем использования основных материалов, Цн – нормативная цена.

Анализ

Анализ отклонений по материалам по использованию необходим для оценки эффективности работы производственного подразделения. Другими словами, он должен выявить насколько эффективно использовались основные материалы при производстве готовой продукции.

В результате проведения такого анализа может быть выявлено три возможных исхода.

  1. Благоприятное отклонение.
  2. Отсутствие отклонения.
  3. Неблагоприятное отклонение.

Благоприятное отклонение по использованию основных материалов возникает в том случае, когда фактический объем их использования за отчетный период оказался ниже, чем нормативный. В обратном случае отклонение считается негативным и может свидетельствовать о неэффективности работы производственного подразделения.

Важно! Следует учитывать, что неблагоприятное отклонение может возникнуть в случае закупки основных материалов более низкого качества, чем было заложено в бюджете. В этом случае ответственность в большей мере ложится на департамент закупок, чем на производственное подразделение.

Отклонение по цене

Отклонение по цене возникает в том случае, когда фактическая цена закупки основных материалов в отчетном периоде отличается от нормативной цены.

Пример

В отчетном периоде компания запланировала производство 7 000 единиц продукции. При этом нормативный объем основных материалов, используемый для производства 1 единицы продукции, составляет 257 кг, а нормативная цена $3,5 за 1 кг.

Фактический объем производства и реализации продукции за отчетный период составил 7 200 единиц. В свою очередь, фактический объем закупки основных материалов составил 1 749 600 кг на сумму $6 298 560.

Вам, как менеджеру, необходимо провести анализ отклонений по материалам и принять решение об эффективности работы производственного подразделения и департамента закупок.

Решение

Рассчитаем совокупную величину отклонения по материалам:

[7 000 × 257 × $3,5] – $6 298 560 = -$2 060

Как мы можем видеть, отклонение по материалам является неблагоприятным, поскольку фактические расходы оказались выше нормативных на $2 060.

Рассчитаем отклонение основных материалов по использованию, воспользовавшись приведенной выше формулой:

[7 000 × 257 – 1 749 600] × $3,5 = +$172 900

Отклонение основных материалов по использованию является благоприятным, что свидетельствует об эффективной работе производственного подразделения в отчетном периоде.

Чтобы определить отклонение основных материалов по цене, рассчитаем фактическую цену, по которой они были закуплены.

Цф = $6 298 560 ÷ 1 749 600 = $3,6

Таким образом, величина отклонения по цене составит:

[$3,5 – $3,6] × 1 749 600 = -$174 960

Полученное отрицательное значение говорит о том, что отклонение является неблагоприятным. Тем не менее, делать однозначный вывод о неэффективности работы департамента закупок на основании только этих данных нельзя.

Возможно причиной более высокой фактической цены стал рост мировых цен на материалы, используемые при производстве данной продукции. Также возможной причиной могла стать закупка материалов более высокого качества, что позволило снизить его удельный расход на единицу продукции.

Так или иначе, вывод об эффективности работы департамента закупок должен основываться на более глубоком анализе.

Важно! Проверить правильность расчетов при проведении анализа отклонений по материалам можно следующим образом: сумма отклонений по цене и по использованию должна быть равна суммарному отклонению по материалам. Если это равенство не выполняется, то в расчетах была допущена ошибка.

Для условия приведенного выше примера это равенство выполняется:

$172 900 – $174 960 = -$2 060

Таким образом, мы можем утверждать, что анализ отклонений по материалам был проведен правильно.

  • ← Маржа безопасности
  • Ценообразование на основе затрат →

Источник: https://allfi.biz/analiz-otklonenij-po-materialam/

Среднеквадратичное отклонение – правила, формулы и примеры расчета

Как рассчитать отклонение

Слово статистика образовано от латинского status, которое обозначает состояние. От этого корня произошли слова stato (государство), statistica (сумма знаний о государстве).

Математическая статистика — наука, которая изучает методы сбора и обработки информации, представленной в численном виде. Эта информация появляется как результат экспериментов.

Во многом математическая статистика опирается на теорию вероятностей, которая позволяет оценить точность и надёжность заключений, сделанных на основании изучения ограниченных статистических данных.

Метод не исследует сущность процессов, а формулирует и описывает их количественную сторону.

Термином генеральная совокупность обозначается общность всех объектов, относительно которых необходимо сделать выводы при изучении научной проблемы.

Выборочная совокупность или выборка — множество объектов, отобранных из генеральной совокупности для исследования. Основные цели математической статистики:

  • указание способов сбора и систематизации статистических данных;
  • определение закона распределения случайной величины;
  • поиск неопределённых параметров;
  • проверка подлинности выдвинутых гипотез.

Главный метод математической статистики — выборочный метод, состоящий в исследовании представительной выборочной совокупности для получения достоверной характеристики генеральной. Отбор объектов в выборку производится случайно, а исследуемое свойство должно обладать статистической устойчивостью, то есть иметь высокую частоту повторений при многократных испытаниях.

Выборочный метод сокращает время и трудоёмкость исследований, так как изучение всей совокупности оказывается более тяжёлым или невозможным. Математическая статистика выявляет закономерности массовых явлений и предсказывает появление внешних влияний.

Размах вариации

Вариация — это различия значений признака у единиц исследуемой совокупности. Она образуется из-за того, что индивидуальные значения формируются при различных условиях. Выборка должна быть представительной, чтобы по результатам её исследований можно было сделать правильные выводы о характеристиках всей совокупности.

Количественная репрезентативность достигается при использовании достаточного числа наблюдений в выборке, которое может обеспечить получение достоверных результатов.

Качественная репрезентативность заключается в одинаковой структуре выборочной и генеральной совокупностей по признакам, имеющим влияние на получение конечного результата.

К абсолютным показателям вариации относятся:

  • размах, R;
  • среднее линейное отклонение, a;
  • среднеквадратичное отклонение, σ (сигма);
  • дисперсия, D.

Размах вариации показывает абсолютную разницу между максимумом и минимумом значений признака:

R = x max — x min, где x — значения признака.

Основным недостатком показателя R можно назвать то обстоятельство, что колебания значений признака могут вызываться случайными причинами и искажать характерный для исследуемой совокупности размах.

Показатели отклонения

Существуют показатели вариации, учитывающие все значения величин, а не только наибольшие или наименьшие. Одним из них можно назвать среднее линейное отклонение — показатель, характеризующий меру разброса значений. Сначала требуется определить точку отсчёта разброса.

Как правило, ею становится среднее арифметическое значение, входящее в исследование величин. Потом необходимо измерить, отклонение от среднего для каждого значения. Все отклонения вычисляются по модулю и определяется среднее значение уже среди них.

Формула для расчёта отклонения:

a = Σ n i=1 (x — x̅) / n, где:

  • a — среднее линейное отклонение;
  • n — количество значений в исследуемой совокупности;
  • x — анализируемый показатель;
  • x̅ — среднее значение показателя.

СКО характеризует разброс значений относительно среднего математического ожидания. Оно измеряется в единицах измерения само́й величины. Существует правило, согласно которому для нормально распределённых данных диапазон разброса 997 значений из 1 тыс. составляет три сигмы от средней арифметической, [x̅ – 3σ; x̅ + 3σ].

Коэффициент вариации

Квадратичное отклонение — это абсолютная оценка меры разброса. Для того чтобы сравнить величину разброса с самими значениями величины, необходимо применить относительный показатель — коэффициент вариации:

V = σ / x̅, где σ — стандартное отклонение из выборки, x̅ — среднее арифметическое.

Коэффициент вариации измеряется в процентах. Показатель полезен для сравнивания однородности разных процессов.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины. Для дискретной выборки оно определяется по формуле:

M (X)= Σ ni=1 xi ⋅ pi, где xi — случайные значения, pi — их вероятность.

Дисперсией называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D (X) = M (X2) — (M (X))2

Для дискретной случайной величины формула приобретает вид:

D (X) = Σ ni=1 xi2 ⋅ pi — M (X)2.

Среднеквадратическое отклонение или стандартный разброс — это корень квадратный из дисперсии, формула которого имеет вид:

σ(X) = √ D (X).

Дисперсия и стандартный разброс — взаимозависимые характеристики. Стандартная ошибка среднего — величина, которая характеризует квадратическое отклонение выборочного среднего, рассчитанного по выборке размера из генеральной совокупности. Величина ошибки SDx̅ зависит от дисперсии генеральной совокупности и объёма выборки и рассчитывается по формуле:

SDx̅ = σ / √ n, где σ — величина стандартного разброса генеральной совокупности, а n — объём выборки.

Статистическая закономерность — это количественная форма проявления причинной связи. Она возникает как результат воздействия большого числа причин, действующих либо постоянно, либо только временами.

Существует ряд статистических критериев, которые позволяют сравнивать экспериментально полученное распределение с нормальным, полученным в теории. Погрешность измерения — отклонение измеренного значения величины от действительного, являющиеся характеристикой точности измерения.

Вместе с полученным результатом должна указываться погрешность измерений.

Пример расчёта

Пример расчёта по формулам для среднеквадратичного отклонения и дисперсии при решении следующей задачи по теории вероятностей: для выполнения ремонтных работ рабочему необходима краска определённого цвета.

В городе имеется четыре строительных магазина, в каждом из которых эта краска может находиться в продаже с вероятностью 0,41. Записать закон распределения количества посещаемых магазинов. Рассчитать дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины.

Обход заканчивается после того, как необходимая краска будет куплена или после посещения всех четырёх магазинов.

x = 1 — краска куплена в первом магазине.

p (1) = 0,41.

x = 2 — краски не нашлось в первом магазине, но она была во втором.

p (2) = (1 — 0,41) · 0,41 = 0,59 · 0,41 = 0,242.

x = 3 — краски не нашлось в двух первых магазинах, но она была в третьем.

p (3) = (1 — 0,41)2 · 0,41 = 0,592 · 0,41 = 0,143.

x = 4 — краски не было в первых трёх магазинах, рабочий зашёл в четвёртый магазин, купил краску или просто закончил обход.

p (4) = 0,593 · 0,41 + 0,594 = 0,205.

Закон распределения:

xi 1 2 3 4
p (X) 0,41 0,242 0,143 0.205

Математическое ожидание: M (X) = 1 · 0,41 + 2 · 0.242 + 3 · 0,143 + 4 · 0,205 = 2,143.

Дисперсия: D (X) = Σ ni=1 xi2 ⋅ pi — M (X)2 = 12 · 0,41 + 22 · 0,242 + 32 · 0,143 + 42 · 0,205 — 2,1432 = 1,353.

Стандартное отклонение: σ(X) = √ D (X) = √1,353 = 1,163.

Ответ: Дисперсия 1,353; квадратическое отклонение 1,163.

Для вычисления среднеквадратичного отклонения в онлайн-калькуляторе достаточно внести в таблицу значения случайной величины xi и их количество.

Среднеквадратичное отклонение применяется для определения погрешности при проведении последовательных измерений. Эта характеристика играет важную роль для сравнения изучаемого процесса с теоретически предсказанным. Если СКО велико, то полученные результаты или метод их получения нужно проверить.

Источник: https://nauka.club/matematika/srednekvadratichno%D0%B5-otkloneni%D0%B5.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.