Как решать уравнения с параметрами

Задачи с параметрами из ЕГЭ

Как решать уравнения с параметрами

Решение задач с параметрами требует наличия определенной математической культуры. С реше-нием задач с параметрами приходится сталкиваться не только в математике. Очень многие законы и закономерности из физики, эконо-мики и других областей описываются уравнениями и неравенствами с параметрами.

Фактически, решая задачи по физике, химии, экономике и некоторым другим школьным дисциплинам, ученик имеет дело с параметрами. Решению задач с параметрами посвящено большое количество учебно-методической литературы. В данной статей приводятся лишь некоторые представления о том, как рассуждают при решении подобных заданий.

С этой целью рассмотрены несколько примеров, большая часть которых взята из вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет (задача C5).

Решение «типичных» задач с параметрами

Пример 1. При каких значениях корни уравнения положительны?

Решение.

1) Начнем с рассмотрения случая, когда . Тогда уравнение принимает вид , откуда получаем, что — положительный корень. Значит данное значение нам подходит. Запомнили.

2) Теперь рассматриваем случай, когда . Разделим обе части уравнения на . В результате получаем следующее квадратное уравнение:

Так как ветви соответствующей параболы направлены вверх, данное уравнение имеет два положительных корня в том случае, если эта парабола пересекает ось OY в точке, находящейся выше нуля (то есть значение соответствующей квадратичной функции при положительно), абсцисса вершины параболы положительна, а дискриминант квадратного уравнения неотрицателен. То есть имеет место следующая система:

Решая данную систему неравенств, получаем промежуточный ответ: .

3) Объединяем решения, полученные в предыдущих двух пунктах. В результате получаем окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №1. Для каждого значения решите уравнение

Показать ответОтвет:

1) при уравнение будет иметь один корень

2) при будет два корня 

3) при будет три корня

4) при будет два корня

5) при будет один корень

Пример 2. При каких значениях параметра  уравнение имеет единственный корень?

Решение.

Используем следующую замену: . Тогда первоначальное уравнение принимает вид: Полученное уравнение с параметром можно исследовать с помощью метода, использованного нами при решении предыдущего задания. Однако для разнообразия предлагаю воспользоваться здесь альтернативным подходом.

Исходное уравнение будет иметь единственный корень в том случае, если у данного уравнения будет один положительный корень либо два корня, один из которых положительный, другой — отрицательный или равный нулю.

1) Дискриминант уравнения равен: . Один корень это уравнение будет иметь в том случае, если полученный дискриминант окажется равным нулю, то есть при . При этом корень — положителен. Данное значение нам подходит. Запомнили.

2) Рассматриваем случай, когда существует два корня, один из которых положителен, другой — неположителен. Условия, при которых эта ситуация реализуется, могут быть записаны следующим образом:

Окончательно: .

Задача для самостоятельного решения №2. Найдите все значения при которых уравнение имеет единственное решение.

Показать ответОтвет: Пример 3. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно три корня?

Решение. Перепишем уравнение в виде: . Найдем промежутки возрастания и убывания функции . Для этого найдем сперва ее производную:

Нули производной равны

Производная принимает положительные значения на промежутке , на промежутке она принимает отрицательные значения. То есть в точке   возрастание функции сменяется ее убыванием, то есть это точка максимума. Значение функции в этой точке: . Напротив, в точке убывание функции сменяется ее возрастанием, то есть это точка минимума. Значение функции в этой точке: .

График данной функции

Следовательно, три решения исходное уравнение будет иметь в том случае, если прямая на координатной плоскости будет располагаться выше прямой и ниже прямой . Значит верно двойное неравенство: . Откуда получаем окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №3. Найдите все значения параметра при которых уравнение  не имеет решений.

Показать ответОтвет: 

Не сходится с ответом?

Показать подсказкуПодсказка: преобразуйте выражение к виду: после чего используйте то, что

Решение задач с параметрами повышенной сложности

Пример 4. При каких уравнение имеет ровно три корня?

Решение. Используем графический метод решения. График функции отличается от параболы только тем, что отрицательная ее область зеркально отражается вверх относительно оси OX (ведь модуль не может принимать отрицательных значений).

График функции представляет собой всем известную «галочку», вершина которой смещена в точку . В зависимости от значений параметра возможны следующие варианты взаимного расположения этих графиков на координатной плоскости:

Взаимное расположение графиков соответствующих функций при разных значениях параметра

Видно, что три решения уравнение будет в случае фиолетовой и бежевой «галочки». Первый случай выполняется при условии выполнения равенства Во втором случае оба модуля раскрываются со отрицательным знаком. В результате приходим к уравнению . Его дискриминант должен быть равен нулю, чтобы получилось одно пересечение (касание). То есть оказывается, что

Ответ: 

Задача для самостоятельного решения №4. При каких уравнение имеет ровно три корня?

Показать ответОтвет:  Пример 5. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.

Решение. Вместо во втором уравнении подставляем из первого, тогда второе уравнение системы принимает вид:

Обращаем внимание на то, что каждому найденному значению будет соответствовать единственное значение , такая пара будет одним решением системы. Подставляя полученные выражения во второе уравнение системы, получаем два квадратичных уравнения: и . Дискриминант и того, и другого равен .

Нам нужно, чтобы у каждого из этих уравнений было по одному решению, тогда у исходной системы их будет два. Это условие выполняется в том случае, когда полученный дискриминант равен нулю. Итак, окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №5. Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство выполнено для любых значений переменной из отрезка .

Показать ответОтвет: Пример 6. Найти все значения параметра , при которых система

имеет ровно два решения.

Решение. Преобразуем систему к следующему виду:

Поскольку параметр находится в основании логарифма, на него накладываются следующие ограничения: . Поскольку переменная стоит под знаком логарифма, на нее накладывается следующее ограничение: .

Скомбинировав оба уравнения системы, переходим к уравнению: . В зависимости от того, какие значения принимает параметр , возможны два случая:

1) Пусть  В этом случае функция  убывает в области допустимых значений, а функция возрастает в той же области.

Вспомнив внешний вид графиков соответствующих функций (кто не помним, может ознакомиться с этой статьей), осознаем, что корень у уравнения один, при этом он меньше 1.

Второе уравнение системы и вся система в целом имеют, следовательно, два решения в силу того, что дискриминант уравнения при положителен. Рассматриваемый случай нам полностью подходит.

2) Пусть теперь . В этом случае функция возрастает на области допустимых значений, и функция возрастает в этой области.

Вспомнив внешний вид графиков соответствующих функций, осознаем, что пересечься в одной точке они могут только в случае касания друг друга. Однако, касание это может произойти лишь в точке, абсцисса которой больше 1.

 Второе уравнение системы и вся система в целом, следовательно, иметь решений не будут в силу того, что дискриминант уравнения при отрицателен.

Итак, окончательный ответ: .

Задача для самостоятельного решения №6. Для каждого допустимого значения решите неравенство и найдите, при каких значениях множество решений неравенства представляет собой промежуток длины

Показать ответОтвет:

1) при получаем

2) при получаем 

Отрезок длины получается при

Пример 7. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет два корня.

Решение. Перепишем уравнение в виде:

Рассмотрим функцию:

При первый модуль раскрывается со знаком плюс, и функция принимает вид: . Очевидно, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом , то есть эта функция на данном промежутке возрастает.

Рассмотрим теперь промежуток, на котором . В этом случае первый модуль раскрывается с минусом и функция принимает следующий вид: . Также легко видеть, что при любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом , то есть на этом промежутке функция убывает.

Итак, мы получили, что — точка минимума данной функции. А это означает, что для того, чтобы график данной функции пересекал ось OX в двух точках (то есть у исходного уравнения уравнения было два решения), значение функции в точке минимума должно быть меньше нуля. То есть имеет место неравенство: .

После несложных преобразований получаем окончательный ответ:

Задача для самостоятельного решения №7. При каких значениях уравнение имеет ровно одно решение на промежутке

Показать ответОтвет: 

Не сходится с ответом?

Показать подсказкуПреобразуйте выражение к виду Решать его нужно относительно который будет принимать единственное значение при в том случае, когда или

Все равно не получается?

Показать решение

Решение

Пример 8. Найдите все положительные значения , при каждом из которых система:

имеет ровно два решения.

Решение.

Выразим  из второго уравнения и подставим в первое, получаем:

Для того, чтобы данная система имела два решения, необходимо, чтобы два решения имело первое уравнение этой системы. Нас интересуют только

1) При получаем линейное уравнение: которое имеет одно решение. Этот случай не подходит.

2) Рассматриваем случай, когда Уравнение принимает вид: . Его правая часть представляет из себя возрастающую функцию, левая — убывающую. Это означает, что если у такого уравнения есть решение, то оно единственное. Этот случай нам не подходит.

3) Теперь рассмотрим случай, когда В зависимости от конкретного значения параметра уравнение вида  может не иметь решений (нет точек пересечения соответствующих графиков), иметь одно решение (прямая касается экспоненты), иметь два решения (две точки пересечения). Нам подходит последний случай.

Разберемся со случаем, когда прямая касается экспоненты. Пусть — абсцисса точки касания. В этой точке производная к экспоненте равняется единице (тангенс угла наклона касательной), кроме того значения обоих функций совпадают, то есть имеет место система:

Если значение параметра окажется меньше, точек пересечения прямой и экспоненты уже будет две. Итак, окончательный ответ:

Задача для самостоятельного решения №8. Найти все значения при каждом из которых наименьшее значение функции больше, чем

Показать ответОтвет:

Источник: https://yourtutor.info/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87-%D1%81-%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8-%D0%B8%D0%B7-%D0%B5%D0%B3%D1%8D

Уравнения с параметром

Как решать уравнения с параметрами

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1.ах = 0

  1. Если а = 0, то 0х = 0
                              х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =
                             х = 0

Пример 2.ах = а

  1. Если а = 0, то 0х = 0
                              х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =
                            х = 1

Пример 3.

х + 2 = ах х – ах = -2

х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а2 – 1) х = 2а2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0
                          х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
                          Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы

:

  1. При а 1 х =;

при а = 1 корней нет.

  1. При а 3 х = ;

при а = 3 корней нет.

  1. При а 1, а -1, а 0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

  1. При а 2, а 0 х = ;

при а = 0, а = 2 решений нет.

  1. При а -3, а -2, а 0, 5 х =

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

  1. При а + с 0, с 0 х = ;

при а = –с, с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1    6х + 7 = 0

х

= –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а2 + 16а + 4 – 4(4а2 + 3а – 4а – 3) = 16а2 + 16а + 4 – 16а2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

a

=

a

=

Если а< -4/5, то Д< 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

х

= – = – Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х

2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д

= 4(а + 1)2 – 4(9а – 5) = 4а2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х1 + х2 = -2(а + 1)
                     х1х2 = 9а – 5

По условию х1 < 0, х2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге4(а – 1)(а – 6) > 0
– 2(а + 1) < 0
9а – 5 > 0
а< 1: а > 6
а > – 1
а > 5/9

(Рис. 1)

< a< 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

х

2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д

= 4(а – 1)2 – 4(2а + 10 = 4а2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а2 – 16а

4а2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а

(а – 4)) 0

а

(а – 4) = 0

а

= 0 или а – 4 = 0
                 а = 4

(Рис. 2)

Ответ

: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а2 – 6а + 8) х2 + (а2 – 4) х + (10 – 3аа2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х2 + ха = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х2 +ах + 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Ответы

:

1. При а = – 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = – 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9х – (а + 2)*3х-1/х +2а*3-2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение

. Умножив обе части уравнения (1) на 32/х, получим равносильное уравнение

32(х+1/х) – (а + 2)*3х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(уа) = 0, откуда у1 =2, у2 = а.

Если у = 2, т.е. 3х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х2 – хlog32 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log232 – 4 < 0.

Если у = а, т.е. 3х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х2 – хlog3а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д

= log232 – 4 > 0, или |log3а| > 2.

Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а < -2, то 0 < а< 1/9.

Ответ

: 0 < а< 1/9, а > 9. Пример 2. При каких значениях а уравнение 22х – (а – 3) 2х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х1 = -3, х2 = а = >

а

– положительное число.

Ответ

: при а > 0

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.