Как упростить выражение

Упрощение логических выражений

Как упростить выражение

Для написания любой логической функции может быть использовано логическое выражение, после чего можно составить логическую схему. Как правило, все логические выражения упрощают для получения максимально простой и дешевой логической схемы. В сущности, логическая схема, выражение и логическая функция, являются тремя различными языками, повествующими об одном и том же.

Логические выражения упрощают при помощи различных законов алгебры логики. Часть преобразований напоминает преобразования формул, выполняемые в классической алгебре (например, применение сочетательного и переместительного законов, вынесение за скобки равенства общего множителя и так далее). Для других преобразований используют свойства, которых лишены операции классической алгебры.

Любые законы алгебры логики выводят для главных логических операций следующим образом: НЕ – инверсия (то есть, отрицание); ИЛИ – дизъюнкция (то есть, логическое сложение); И – конъюнкция (то есть, логическое умножение).

Закон двойного отрицания состоит в том, что операция НЕ является обратимой: если ее использовать два раза, логическое значение в результате останется неизменным.

Сущность закона исключенного третьего состоит в том, что каждое логическое выражение при любых условиях является истинным, либо ложным. Если A=1, тогда A=0, а также наоборот. Конъюнкция данных величин всегда равняется 0, дизъюнкция равна 1.

Закон повторения и операции с константами легко можно проверить, используя таблицы истинности операций ИЛИ и И.

Сочетательный и переместительный законы имеют такой же вид, как в математике. Аналогия с привычной всем классической алгеброй.

Для дизъюнкции распределительный закон состоит просто в раскрытии скобок. Для конъюнкции выражение неизвестно, в математике подобное равенство является неверным. Начнем доказывать с правой части. Сначала раскроем скобки:

(A+B)⋅(A+C)=A⋅A+A⋅C+B⋅A+B⋅C

Используем закон повторение, гласящий, что A⋅A=A,

Затем A⋅A+C⋅A=A+C⋅A=A⋅(1+C)=A⋅1=A

A+A⋅B=A⋅(1+B)=A⋅1=A, следовательно, (A+B)⋅(A+C)=A+B⋅C.

Мы доказали равенство.

Правил, используемые для раскрытия инверсии сложных выражений, назвали именем известного логика и математика де Моргана. Суть состоит в том, что общее отрицание не только распространяется на отдельные выражения, а еще и дизъюнкция заменяется конъюнкцией (а также наоборот). Для доказательства данных правил используются таблицы истинности.

Основная часть аксиом и законов алгебры логики записаны попарно. Внимательно изучая пары, можно сформулировать принцип двойственности, звучащий следующим образом: если осуществить в тождестве замены конъюнкции, а также дизъюнкции. И также элементов 1 и 0 (при их наличии), получится тождество. Данное свойство именуют принципом двойственности.

Упрощения логических выражений в примерах

Формула, вытекающая из распределительного закона. При ее выведении применили вышеупомянутое правило де Моргана для дизъюнкции, а также использовали закон двойного отрицания, после чего сомножитель X, вынесли за скобку, тогда как в скобках получили закон исключённого третьего, а также применили операцию с константами.

Пример первый

Кто из рабочих, обозначенных, как A, B, C, D работает на заводе, а кто нет, если нам даны следующие условия:

  • если работает A либо работает B, тогда не работает C;
  • если не работает B, тогда работает D, а также работает C.

Решение задачи. Обозначим несколько простых высказываний:

  1. A рабочий A на заводе работает;
  2. B рабочий B на заводе работает;
  3. C рабочий C на заводе работает;
  4. D рабочий D на заводе работает.

Сформулировав данные из условия при помощи этих простых высказываний, получим следующее:

Получаем следующую конъюнкцию: ((A+B)→C)⋅(B→C⋅D)⋅C.

После упрощения данной формулы получаем, что A равно 0, B равно 1, C равно 1, D равно 1.

Ответ: ученик A на заводе не работает, а ученики B, C, D играют.

В этом примере применено правило де Моргана, затем использован распределительный закон, после этого применен закон исключенного третьего, потом использован переместительный закон. За ним реализован закон повторения, потом опять применен переместительный закон и, наконец, использован закон поглощения.

Чтобы отыскать решения логического уравнения можно также применить упрощение логических выражений.

Нужно отыскать все решения данного уравнения

Применив правило де Моргана, получим

B+C+A¯+A¯⋅C¯+D=0

а затем применяем закон поглощения и получаем

B+C+A¯+D=0

Чтобы логическая сумма равнялась нулю, все слагаемые должны равняться нулю, из чего следует, что

A равно 1, B равно 0, C равно 0, D равно 0.

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/uproshhenie-logicheskih-vyrazheniy/

Как упрощать логические выражения: функции, законы и примеры

Как упростить выражение

Сегодня мы вместе научимся упрощать логические выражения, познакомимся с основными законами и изучим таблицы истинности функций логики.

Начнем с того, зачем нужен этот предмет. Вы никогда не замечали, как разговариваете? Обратите внимание на то, что наша речь и действия всегда подчиняются законам логики.

Для того чтобы знать исход какого-либо события и не попасть впросак, изучите простые и понятные законы логики.

Они помогут вам не только получить хорошую оценку по информатике или набрать больше балов на едином государственном экзамене, но и действовать в жизненных ситуациях не наугад.

Операции

Для того чтобы научиться упрощать логические выражения, необходимо знать:

  • какие функции есть в булевой алгебре;
  • законы сокращения и преобразования выражений;
  • порядок выполнения операций.

Сейчас мы рассмотрим эти вопросы очень подробно. Начнем с операций. Их довольно легко запомнить.

  1. Первым делом мы отметим логическое умножение, в литературе его называют операцией конъюнкции. Если условие записано в виде выражения, то операция обозначается перевернутой галочкой, знаком умножения или «&».
  2. Следующая наиболее часто встречаемая функция – логическое сложение или дизъюнкция. Ее отмечают галочкой или знаком плюса.
  3. Очень важна функция отрицания или инверсии. Вспомните, как в русском языке вы выделяли приставку. Графически инверсия обозначается знаком приставки перед выражением или горизонтальной линией над ним.
  4. Логическое следствие (или импликация) обозначается стрелкой от значения к следствию. Если рассматривать операцию с точки зрения русского языка, то она соответствует такому виду построения предложения: «если…, то…».
  5. Далее идет эквиваленция, которая обозначается двусторонней стрелкой. В русском языке операция имеет вид: «только тогда».
  6. Штрих Шеффера разделяет два выражения вертикальной чертой.
  7. Стрелка Пирса, аналогично штриху Шеффера, разделяет выражения вертикальной стрелкой, направленной вниз.

Обязательно запомните то, что операции необходимо выполнять в строгой последовательности: отрицание, умножение, сложение, следствие, эквивалентность. Для операций «штрих Шеффера» и «стрелка Пирса» нет правила очередности. Следовательно, их нужно выполнять в той последовательности, в которой они стоят в сложном выражении.

Таблицы истинности

Упростить логическое выражение и построить таблицу истинности для дальнейшего его решения невозможно без знания таблиц основных операций. Сейчас мы предлагаем с ними познакомиться. Обратите внимание на то, что значения могут принимать либо истинное, либо ложное значение.

Для конъюнкции таблица выглядит следующим образом:

Выражение №1Выражение №2Итог
ЛожьЛожьЛожь
ЛожьИстинаЛожь
ИстинаЛожьЛожь
ИстинаИстинаИстина

Таблица для операции дизъюнкция:

Выражение №1Выражение №2Итог
++
++
+++

Отрицание:

Входное значениеИтог
Истинное выражение
Ложное выражение+

Следствие:

Выражение №1Выражение №2Итог
Истина
+Истина
+Ложь
++Истина

Равнозначность:

Выражение №1Выражение №2Итог
ЛожноеЛожное+
ЛожноеИстинное
ИстинноеЛожное
ИстинноеИстинное+

Штрих Шиффера:

Выражение №1Выражение №2Итог
00Истина
01Истина
10Истина
11Ложь

Стрелка Пирса:

Выражение №1Выражение №2Итог
+
+
+
++

Законы упрощения

На вопрос о том, как упрощать логические выражения в информатике, нам помогут найти ответы простые и понятные законы логики.

Начнем с самого простого закона противоречия. Если мы умножаем противоположные понятия (А и неА), то получаем ложь. В случае сложения противоположных понятий, мы получаем истину, этот закон имеет название «закон исключенного третьего». Часто в булевой алгебре встречаются выражения с двойным отрицанием (не неА), в таком случае мы получаем ответ А. Также есть два закона де Моргана:

  • если у нас есть отрицание логического сложения, то мы получаем умножение двух выражений с инверсией (не(А+В)=неА*неВ);
  • аналогично действует и второй закон, ели мы имеем отрицание операции умножения, то получаем сложение двух значений с инверсией.

Очень часто встречается дублирование, одно и то же значение (А или В) складывается или умножается между собой. В таком случае действует закон повторения (А*А=А или В+В=В). Имеют место и законы поглощения:

  • А+(А*В)=А;
  • А*(А+В)=А;
  • А*(неА+В)=А*В.

Есть два закона склеивания:

  • (А*В)+(А*В)=А;
  • (А+В)*(А+В)=А.

Упрощать логические выражения несложно, если знать законы булевой алгебры. Все перечисленные в этом разделе статьи законы можно проверить опытным путем. Для этого стоит открыть скобки по законам математики.

Пример 1

Мы изучили все особенности упрощения логических выражений, теперь необходимо закрепить свои новые знания на практике. Мы предлагаем вам разобрать совместно три примера из школьной программы и билетов единого государственного экзамена.

В первом примере нам нужно упростить выражение: (С*Е)+(С*неЕ). Первым делом мы обращаем свое внимание на то, что и в первой, и во второй скобке есть одна и та же переменная С, предлагаем вам вынести ее за скобки.

После проделанной манипуляции мы получаем выражение: С*(Е+неЕ). Ранее мы рассмотрели закон исключения третьего, применим его относительно данного выражения. Следуя ему, мы можем утверждать, что Е+неЕ=1, следовательно, наше выражение принимает вид: С*1.

Полученное выражение мы можем еще упростить, зная, что С*1=С.

Пример 2

Следующее наше задание будет звучать так: чему будет равно упрощенное логическое выражение не(С+неЕ)+не(С+Е)+С*Е?

Обратите внимание, в данном примере есть отрицание сложных выражений, от этого стоит избавляться, руководствуясь законами де Моргана. Применив их, мы получим выражение: неС*Е+неС*неЕ+С*Е.

Мы опять наблюдаем повторение переменной в двух слагаемых, выносим ее за скобки: неС*(Е+неЕ)+С*Е. Опять применяем закон исключения: неС*1+С*Е. Вспоминаем, что выражение «неС*1» равняется неС: неС+С*Е.

Далее предлагаем применить распределительный закон: (неС+С)*(неС+Е). Применяем закон исключения третьего: неС+Е.

Пример 3

Вы убедились в том, что на самом деле очень просто упростить логическое выражение. Пример №3 будет расписан менее подробно, постарайтесь сделать его самостоятельно.

Упростите выражение: (D+Е)*(D+F).

  1. D*D+D*F+E*D+E*F;
  2. D+D*F+E*D+E*F;
  3. D*(1+F)+ E*D+E*F;
  4. D+ E*D+E*F;
  5. D*(1+E)+E*F;
  6. D+E*F.

Как видите, если знать законы упрощения сложных логических выражений, то данное задание никогда не вызовет у вас затруднений.

Источник: https://FB.ru/article/319551/kak-uproschat-logicheskie-vyirajeniya-funktsii-zakonyi-i-primeryi

Алгебра 7-9 классы. 14. Решение типовых заданий по теме:

Как упростить выражение

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:

Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:

где а, b и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.

Это равенство выражает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же

Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 1. Сложим дроби

Пример 2. Вычтем дроби

Пример 3. Упростим выражение

Здесь удобно сложение и вычитание дробей выполнять не последовательно, а совместно:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

Пример 1. Сложим дроби

Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен . Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны .

Имеем

Пример 2. Преобразуем разность

Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

Простейшим общим знаменателем служит выражение Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

Имеем

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

Пример 3. Упростим выражение

Представим выражение а – 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

 Умножение дробей. Возведение дроби в степень

При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например:

Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b и d — ненулевые многочлены. Это равенство выражает правило умножения рациональных дробей:

чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Пример 1. Умножим дробь на дробь

Воспользуемся правилом умножения дробей:

Пример 2. Умножим дробь на дробь

Имеем

Пример 3. Представим произведение в виде рациональной дроби.

Имеем

Пример 4. Умножим дробь на многочлен

При умножении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило умножения дробей:

Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и более рациональных дробей. Например:

Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Рассмотрим выражение , являющейся  n-й степенью  рациональной дроби и докажем, что

По определению степени имеем

Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим

Следовательно , 

Из доказанного тождества следует правило возведения рациональной дроби в степень:

чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

Пример 5. Возведем дробь в третью степень.

Воспользуемся правилом возведения в степень:

Деление дробей

При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например:

Так же поступают при делении любых рациональных дробей:

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.

Это равенство выражает правило деления рациональных :

чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 1. Разделим дробь на дробь .

Воспользуемся правилом деления дробей:

Пример 2. Разделим дробь на дробь

Имеем

Пример 3. Разделим дробь на многочлен a + 3.

При делении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило деления дробей:

Преобразование рациональных выражений

 Рациональное выражение представляет собой частное от деления суммы рациональных дробей многочлен.

Деление на  можно заменить умножением на дробь Поэтому преобразование данного выражения сводится к сложению дробей и умножению результата на дробь  Вообще преобразование любого рационального выражения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или делению рациональных дробей.

Из правил действий с дробями следует, что сумму, разнос произведение и частное рациональных дробей всегда можно предс вить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

Пример 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение

Сначала выполним умножение дробей, затем полученный результат вычтем из многочлена x + 1:

Запись можно вести иначе:

Пример 2. Представим выражение

в виде рациональной дроби.

Сначала сложим дроби, заключенные в скобки, затем найденный результат умножим на дробь и, наконец, к полученному произведению прибавим 1:

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1878-algebra-7-9-klassy-14-reshenie-tipovykh-zadanij-po-teme-drobnye-ratsionalnye-vyrazheniya

Как упростить выражение | Сделай все сам

Как упростить выражение

Дабы стремительно и результативно изготавливать расчеты, упрощайте математические выражения. Для этого используйте математические соотношения, дозволяющие сделать выражение короче, а расчеты упростить.

Вам понадобится

  • – представление одночлена многочлена;
  • – формулы сокращенного умножения;
  • – действия с дробями;
  • – основные тригонометрические тождества.

Инструкция

1.

Если в выражении имеются одночлены с идентичными множителями, обнаружьте сумму показателей при них и умножьте на цельный для них множитель. Скажем, если есть выражение 2•а-4•а+5•а+а=(2-4+5+1)?а=4?а.

2.

Для облегчения выражения используйте формулы сокращенного умножения. К особенно знаменитым относятся квадрат разности, разность квадратов, разность и сумма кубов. Скажем, если есть выражение 256-384+144, представьте его как 16?-2•16•12+12?=(16-12)?=4?=16.

3. В том случае, если выражение представляет собой естественную дробь, выделите из числителя и знаменателя всеобщий множитель и сократите дробь на него. Скажем, если необходимо сократить дробь (3•a?-6•a•b+3•b?)/(6?a?-6?b?), вынесите из числителя и знаменателя всеобщие множители в числителе это будет 3, в знаменателе 6.

Получите выражение (3•(a?-2•a•b+b?))/(6?(a?-b?)). Сократите числитель и знаменатель на 3 и примените к оставшимся выражениям формулы сокращенного умножения. Для числителя это квадрат разности, а для знаменателя разность квадратов.

Получите выражение (a-b)?/(2? (a+b)?(a-b)) сократив его на всеобщий множитель a-b, получите выражение (a-b)/(2? (a+b)), которое при определенных значениях переменных значительно легче посчитать.

4. Если одночлены имеют идентичные множители, возведенные в степень, то при их суммировании следите, дабы степени были равны, напротив сводить сходственные невозможно. Скажем, если есть выражение 2?m?+6•m?-m?-4•m?+7, то при сведении сходственных получится m?+2•m?+7.

5. При облегчении тригонометрических тождеств используйте формулы для их реформирования. Основное тригонометрическое тождество sin?(x)+cos?(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), формулы суммы и разности доводов, двойного, тройного довода и другие.

Скажем, (sin(2?x)- cos(x))/ ctg(x). Распишите формулу двойного довода и котангенса, как отношения косинуса на синус. Получите (2? sin(x)• cos(x)- cos(x))• sin(x)/cos(x).

Вынесите всеобщий множитель, cos(x) и сократите дробь cos(x)•(2? sin(x) – 1)• sin(x)/cos(x)= (2? sin(x) – 1) • sin(x).

Совет 2: Как упрощать выражения

Краткость, как говорится, – сестра дара. Всякому хочется блеснуть даром, но вот его сестра – штука трудная. Феноменальные мысли отчего-то сами собой облекаются в сложноподчинённые предложения со большинством деепричастных циклов. Впрочем в ваших силах упростить свои предложения и сделать их внятными и доступными каждым.

Совет 3: Как упростить дробное выражение

«Выражением » в математике обыкновенно называют комплект арифметических и алгебраических действий с числами и переменными значениями. По аналогии с форматом записи чисел такой комплект называют «дробным» в том случае, когда он содержит операцию деления. К дробным выражениям, как и к числам в формате обычной дроби, применимы операции облегчения.

Как упростить выражение

Как упростить выражение

Свойства сложения, вычитания, умножения и деления полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в удобные выражения для вычислений. Научимся, как можно с помощью этих свойств упрощать выражения.

Вычислим сумму:

52 + 287 + 48 + 13 =

В этом выражении есть числа, при сложении которых получаются «круглые» числа. Заметив это, легко провести вычисления устно. Воспользуемся переместительным законом сложения.

Также для упрощения вычисления произведений можно использовать переместительный закон умножения.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

Сочетательные и переместительные свойства используются и при упрощении буквенных выражений.

  • 6 · a · 2 = 6 · 2 · a = 12a
  • 2 · a · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8ab
  • 5b + 8b = (5 + 8) · b = 13b
  • 14y − 12y = (14 − 12) · y = 2y

Распределительный закон умножения часто применяется для упрощения вычислений.

Применяя распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания к выражению «(a + b) · с и (a − b) · c», мы получаем выражение, не содержащее скобки.

В этом случае говорят, что мы раскрыли (опустили) скобки. Для применения свойств не имеет значения, где записан множитель «c» — перед скобками или после.

Раскроем скобки в выражениях.

  • 2(t + 8) = 2t + 16
  • (3x − 5)4 = 4 · 3x − 4 · 5 = 12x − 20

Запомните!

Если перед буквой не записано число, то подразумевается, что перед буквой стоит числовой множитель 1.

Вынесение общего множителя за скобки

Поменяем местами правую и левую часть равенства:

(a + b)с = ac + bc

Получим:

ac + bc = (a + b)с

В таких случаях говорят, что из «ac + bc» вынесен общий множитель «с» за скобки.

Примеры вынесения общего множителя за скобки.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x − x − 6 = (7 − 1)x − 6 = 6x − 6 = 6(x − 1)

Источник:

Упрощение выражений. урок. Математика 5 Класс

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык – математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» – можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася – друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить– значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение. Ему эквивалентное будет.

Также  будет эквивалентно первым двум:.

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения. Очевидно, что более простое будет.

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример: от числа нужно отнять число.

Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью:, то вычисления были бы мгновенными:.

То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.

Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».

Упростить выражение:.

Решение

1) Выполним действия в первых и во вторых скобках:.

2) Вычислим произведения:.

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1) выполнить все возможные действия,

2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

Вычислите:

1)       3)

2)       4)

Решение

1) Представим как 

2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение: 

3) можно представить как и выполнить умножение:

4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону:.

Выполните действия:

1)      2)

Решение

1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону – вынести общий множитель за скобки.

2) Вынесем за скобки общий множитель

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни –, прихожей –. Есть три вида линолеумов: по, и рублей за. Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)

Источник: https://soveti-masterov.com/lajfhak/kak-uprostit-vyrazhenie.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.